[论文解读] G-bundles, isomonodromy and quantum Weyl groups

Philip Boalch|ArXiv.org|Aug 22, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文通過證明具有非正則奇點的 G-主叢上梅拉omorphic 連接的等單緯度變形會在對偶的泊松-李群 G* 上誘導出 braid 群的泊松作用，從而確立了量子外爾群作用的幾何起源，該作用與 De Concini、Kac 和 Procesi 的量子外爾群作用的經典極限完全匹配。關鍵結果是透過具有二階極點的連接模空間上的平坦連接的單值性，實現了這些量子群對稱性。

ABSTRACT

First an `irregular Riemann-Hilbert correspondence' is established for meromorphic connections on principal G-bundles over a disc, where G is any connected complex reductive group. Secondly, in the case of poles of order two, isomonodromic deformations of such connections are considered and it is proved that the classical actions of quantum Weyl groups found by De Concini, Kac and Procesi do arise from isomonodromy (and so have a purely geometrical origin). Finally a certain flat connection appearing in work of De Concini and Toledano Laredo is derived from isomonodromy, indicating that the above result is the classical analogue of their conjectural Kohno-Drinfeld theorem for quantum Weyl groups.

研究动机与目标

• 將 Jimbo-Miwa-Ueno 的等單緯度變形理論推廣至複半單李群 G 的主叢。
• 理解具有非正則奇點的 G-叢上梅拉omorphic 連接的 G-值 Stokes 現象。
• 證明 De Concini-Kac-Procesi 的經典量子外爾群作用自然源自平坦連接的單值性，透過等單緯度變形實現。
• 將等單緯度變形的哈密頓量與 De Concini-Toledano Laredo 工作中出現的平坦連接聯繫起來，暗示量子外爾群的 Kohno–Drinfeld 定理之經典類比。

提出的方法

• 構造單位圓盤上具有單一二階極點的通用梅拉omorphic G-叢連接的模空間 M。
• 利用非正則黎曼-希爾伯特對應關係，以 G-值 Stokes 多項式描述局部模空間，推廣 Balser-Jurkat-Lutz 對 GLn 的結果。
• 在纖化叢 M → t_reg 上定義平坦的等單緯度變形連接，其中 t_reg 為 Cartan 子代數的正則區域。
• 證明此連接的單值性誘導出純 braid 群 P_g 對纖 M(A0)（與 G* 同構）的泊松作用。
• 構造一個扭轉叢 M' → t_reg/W 及其上的平坦連接，其單值性給出完整的 braid 群 B_g 作用。
• 證明此 B_g 作用在 G* 上與 De Concini-Kac-Procesi 的量子外爾群作用的經典極限完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將等單緯度變形理論從 GLn 推廣至具有非正則奇點的任意複半單李群 G 的連接？
• RQ2 具有非正則奇點的梅拉omorphic G-連接的局部模空間的幾何與代數結構為何？
• RQ3 De Concini-Kac-Procesi 的經典量子外爾群作用是否可自然地由如等單緯度變形之幾何構造實現？
• RQ4 是否存在量子外爾群的 Kohno–Drinfeld 定理之經典類比？若存在，其如何透過等單緯度變形實現？
• RQ5 單值映射 ν: g* → G* 如何將 g* 上的標準泊松結構與 G* 上的典型泊松-李結構聯繫起來？

主要发现

• 在扭轉叢 M' → t_reg/W 上的等單緯度變形連接的單值性，誘導出 braid 群 B_g 對 G* 的泊松作用，其與 De Concini、Kac 和 Procesi 的量子外爾群作用的經典極限完全匹配。
• 當 g* 配備標準複泊松結構、G* 配備其典型泊松-李結構（縮放因子為 2πi）時，單值映射 ν: g* → G* 是泊松映射。
• 當 A0 為純虛數時，單值映射限制為實解析泊松微分同構 ν|k*: k* → K*，實現了緊緻實形式的對偶與其泊松-李群對偶之間的 Ginzburg–Weinstein 同構。
• 單值映射 ν 對於 g* 上的餘伴隨作用與 G* 上的左/右穿衣作用是 T-等變的，且所有 Ginzburg–Weinstein 同構均為 T_K-等變。
• 等單緯度變形哈密頓量生成的平坦連接與 De Concini、Millson 和 Toledano Laredo 所研究的連接一致，暗示了量子外爾群的猜想型 Kohno–Drinfeld 定理之經典類比。
• 對於 G=SL3(C)，等單緯度變形方程等價於全族 Painlevé VI 方程，其一般解涉及新的超越函數，顯示出單值映射的複雜性。