[论文解读] G-Character varieties for G=SO(n,C) and other not simply connected groups

Adam S. Sikora|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究非单连通群的 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$-特征簇，建立有限中心子群 $H$ 下 $G$-与 $G/H$-特征簇之间的关系。本文为 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 提供了有限生成集，并证明全迹代数 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$ 严格小于全坐标环，从而解决了关于 $SO(2n,\mathbb{C})$-簇中迹函数生成性的关键问题。

ABSTRACT

We describe the relation between G-character varieties, $X_G(Γ)$, and $G/H$-character varieties, where $H$ is a finite, central subgroup of $G.$ In particular, we find finite generating sets of coordinate rings $C[X_{G/H}(Γ)]$ for classical groups $G$ and $H$ as above. Using this approach we find an explicit description of $C[X_{SO(4,C)}(F_2)]$ for the free group on two generators, $F_2.$ In the second part of the paper, we prove several properties of SO(2n,C)-character varieties. This is a particularly interesting class of character varieties because unlike for all other classical groups G, the coordinate rings $C[X_{G}(Γ)]$ are generally not generated by trace functions $τ_γ$, for $γ\in Γ$, for G=SO(2n,C). In fact, we prove that the coordinate ring $C[X_{SO(2n,C)}(Γ)]$ is not even generated by "generalized trace functions," $τ_{γ,V},$ for all $γ\in Γ$ and all representations $V$ of $SO(2n,C)$ for $n=2$ and groups $Γ$ of corank $\geq 2$.

研究动机与目标

• 理解像 $SO(n,\mathbb{C})$ 这类非单连通群的 $G$-特征簇结构，这些结构无法被迹函数完全捕捉。
• 在 $H$ 是 $G$ 的有限中心子群时，建立 $G$-特征簇与 $G/H$-特征簇之间的一般关系。
• 显式描述自由群两个生成元的坐标环 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$。
• 解决全迹代数 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$ 是否生成全坐标环 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$ 的问题，其中 $n=2$ 且 $\Gamma$ 的余秩 $\geq 2$。

提出的方法

• 利用同构 $SO(4,\mathbb{C}) \cong (SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}))/\mathbb{Z}/2$，通过商构造从 $SL(2,\mathbb{C})$ 提升特征簇到 $SO(4,\mathbb{C})$。
• 利用 $G$-表示结构和 $H$ 作用下的不变量，特别针对经典群，构造 $\mathbb{C}[X_{G/H}(\Gamma)]$ 的有限生成集。
• 定义广义迹函数 $\tau_{\gamma,V}$，并分析其在生成坐标环 $\mathbb{C}[X_G(\Gamma)]$ 中的作用。
• 对迹代数应用分次论证，证明 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 中关键生成元的线性无关性。
• 利用 $\Gamma \to F_2$ 的满同态，将 $F_2$ 上的结果提升到更高余秩群，表明迹代数扩张是真扩张。
• 利用 $X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2) \times X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2)$ 上的 $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$-等变结构，分解坐标环并识别 $SO(4,\mathbb{C})$-特征簇的生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n=2$ 且 $\Gamma$ 的余秩 $\geq 2$，全迹代数 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$ 是否生成全坐标环 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$？
• RQ2 坐标环 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 是否可由所有 $\gamma \in F_2$ 和所有 $SO(4,\mathbb{C})$-表示 $V$ 的广义迹函数 $\tau_{\gamma,V}$ 生成？
• RQ3 是否存在 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 的显式有限生成集？
• RQ4 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 作为 $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-模的生成元在迹代数上是否线性无关？
• RQ5 扩展 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 是否为真扩展？

主要发现

• 坐标环 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 是由 $1$ 和函数 $Q_4(\gamma_i, \gamma_j)$（其中 $1 \leq i \leq j \leq 2$）以及四个涉及乘积和逆元的额外 $Q_4$-函数生成的 $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-模。
• 全迹代数 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$ 严格小于 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$，这由生成元 $Q_4(\gamma_1, \gamma_2)$、$Q_4(\gamma_1\gamma_2^{-1}, \gamma_2)$ 和 $Q_4(\gamma_2\gamma_1^{-1}, \gamma_1)$ 的非冗余性所证明。
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 作为 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-模的生成元在次数 3 上代数无关，证明任一生成元均不位于其余生成元的 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-张成空间中。
• 对于余秩 $\geq 2$ 的 $\Gamma$，扩展 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma)]$ 是真扩展，因为其由 $F_2$ 情况通过满同态诱导而来。
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 不能仅由迹函数 $\tau_\gamma$ 或广义迹函数 $\tau_{\gamma,V}$ 生成，与其它经典群不同。
• 本文为 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ 提供了有限生成集，明确列出了以 $Q_4$-函数和迹不变量表示的生成元。