[论文解读] G-Extensions of Quantum Group Categories and Functorial SPT

Ammar Husain|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种框架，利用广义拓扑场论（TFT）框架中的量子群范畴的G-扩张，来衡量三维中的对称性保护拓扑（SPT）相。通过利用映射类群作用和同伦不变量对G-扩张进行分类，构建了带有缺陷的完全扩展TFT，利用Drinfeld中心构造和辫子融合范畴，实现了反常流入和无反常场论。

ABSTRACT

In this short mostly expository note, we sketch a program for gauging fully extended topological field theories in 3 dimensions. One begins with the spherical fusion category with which one wants to do Levin-Wen or Turaev-Viro. One then computes a homotopic space with certain $π_\bullet$ given by autoequivalences, invertible objects and the ground (algebraic) field. Then for each desired symmetry group $G$ one looks at mapping $BG$ into that. This classifies equivalence classes of G-extended fusion categories. This is an equivalence at a fully extended level so will allow many defects rather than only evaluating partition functions on closed manifolds. We can now use these categories to build a new fully extended 3d topological field theory, but now possibly with extra data. This is the result of permeating defect walls and saying how that affects the assignment to the point strata.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，利用范畴论工具对三维对称性保护拓扑相中的有限对称群进行规范场论化。
• 通过融合范畴的G-扩张，将Levin-Wen和Turaev-Viro模型扩展为带有缺陷的完全扩展拓扑场论。
• 阐明Drinfeld中心和辫子融合范畴在编码 anyonic 激发态及反常流入中的作用。
• 在cobordism假设和$(∞,3)$-范畴的背景下，建立G-扩张与等变结构之间的对应关系。
• 提供一个计算框架，利用同伦理论数据从量子群范畴构建无反常场论。

提出的方法

• 利用cobordism假设，将完全扩展的三维TFT与$(∞,3)$-范畴中融合范畴和双模的完全对偶对象联系起来。
• 通过分类映射$BG \to \text{Hom}^\text{eq}(\mathcal{C}, \mathcal{C})$来构造球面对称融合范畴$\mathcal{C}$的G-扩张，通过自同构编码对称性作用。
• 应用$(\infty,3)$-Morita范畴来建模对称性作用于点不变量，而不仅仅是希尔伯特空间，从而支持缺陷丰富的分层流形。
• 利用Drinfeld中心$Z(\mathcal{C})$将任意子实现为体激发，确保在规范对称性下模性与一致性。
• 通过在度量群和Witt群结构中耦合到背景规范场，实现反常流入，利用拉格朗日子群。
• 利用Postnikov塔分解和同伦不变量（$\pi_1$, $\pi_2$, $\pi_3$）从代数数据重建扩展TFT的拓扑空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用范畴论扩展系统化地对三维SPT相中的有限对称群进行规范场论化？
• RQ2 Drinfeld中心在扩展TFT中编码任意子统计和反常流入的角色是什么？
• RQ3 融合范畴的G-扩张如何与cobordism假设和带有缺陷的完全扩展TFT相关联？
• RQ4 哪些代数结构（例如拉格朗日子群、度量群）编码了量子群范畴中的反常和对称性数据？
• RQ5 如何利用辫子融合范畴的Witt群对这一框架中的拓扑序进行分类和简化？

主要发现

• 球面对称融合范畴$\mathcal{C}$的G-扩张由映射$BG \to \text{Hom}^\text{eq}(\mathcal{C}, \mathcal{C})$分类，其中同伦群$\pi_1$, $\pi_2$, $\pi_3$分别对应对称群、可逆对象和基域。
• Drinfeld中心$Z(\mathcal{C})$提供了一个模范畴，可在Levin-Wen模型中实现任意子激发，且其结构在G-扩张下保持不变。
• 反常流入通过度量群$E = A \oplus A^*$中的拉格朗日子群编码，其二次型为$q$，其中$\text{Hom}(L, L)$计数横截交点。
• 超曲度量群范畴$Lag_{hyp}$等价于$Bimod_{ab}$，即阿贝尔双模范畴，且$\text{BrPic}(\text{Vec}_A) \cong O(A \oplus A^*)$。
• Witt群$\mathbf{W}$包含由任意子范畴生成的$\mathbb{Z}_{16}$子群，且$W_{ptd}(2) \cong \mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2$，表明了点状辫子范畴的分类。
• 通过同伦群和Postnikov不变量重构了$B\underline{\underline{BrPic}}$的完整结构，实现了通过代数模型对扩展TFT的分类。