[论文解读] Géométrie anabélienne tempérée

Emmanuel Lepage|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Topological and Geometric Data Analysis被引用 7

一句话总结

本文在p进几何中构建了一个加温基本群，将格罗滕迪克的算术几何推广至非阿基米德解析空间。通过多单纯复形，建立了具有全稳定减少的对数概形的加温基本群与其特殊纤维之间的比较，证明了加温基本群能够捕捉p进域上曲线与阿贝尔簇的几何与算术结构。

ABSTRACT

The tempered fundamental group of a p-adic analytic variety classifies étale coverings that become topological coverings (for the Berkovich topology) after finite étale base change. I study what can be recovered from the tempered fundamental group. In particular, I prove that, for a Mumford curve, one can recover the metric of the graph of the stable reduction from the tempered fundamental group. I also study how the tempered fundamental group behaves along the fibers of a fibration.

研究动机与目标

• 通过定义能同时捕捉几何与算术数据的加温基本群，将算术几何推广至p进解析空间。
• 建立具有全稳定减少的对数概形的加温基本群与其特殊纤维之间的比较同构。
• 将莫奇兹基关于曲线的pro-$(p')$-加温基本群的结果推广至完整的加温设定。
• 利用多单纯结构发展加温基本群的分类复形理论。
• 研究在对数-étale覆盖背景下，加温基本群在变换、基变换与共特殊化下的行为。

提出的方法

• 使用贝克维奇解析空间及其骨架来研究p进曲线及其约化的拓扑。
• 应用对数概形与对数-étale态射的理论，定义与对数结构相容的加温基本群。
• 引入$l$-多单纯分类复形，以建模具有全稳定减少的对数概形的加温基本群。
• 利用变换与共特殊化映射的理论，将一般纤维的加温基本群与特殊纤维的加温基本群联系起来。
• 利用牟尔福曲线及其由$Ω/\Gamma$的统一化所体现的度量图的几何，分析加温基本群。
• 应用对数-étale上同调与下降理论的结果，证明不变性与比较定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进解析几何背景下，加温基本群如何定义？它与代数基本群之间有何比较关系？
• RQ2 具有半稳定减少的曲线的加温基本群与其特殊纤维之间存在何种关系？
• RQ3 加温基本群在基变换与变换下如何行为？
• RQ4 具有全稳定减少的对数概形的加温基本群能否通过多单纯分类复形来描述？
• RQ5 雅可比簇在曲线的加温基本群的阿贝尔化中起何种作用？

主要发现

• 具有半稳定减少的曲线的加温基本群同构于赋予度量结构的对偶图的基本群。
• 曲线的pro-$(p')$-加温基本群同构于其关联贝克维奇空间的拓扑基本群的紧化。
• 对于具有全稳定减少的对数概形，加温基本群同构于其关联多单纯复形的基本群。
• 加温基本群上的共特殊化映射与骨架特化所诱导的态射相容。
• 曲线的加温基本群的阿贝尔化同构地映射到其雅可比簇的塔 Tate 模。
• 牟尔福曲线的加温基本群同构于其稳定减少的度量图的基本群，其中$Ω/\Gamma$的统一化作为覆盖被实现。