[论文解读] G-torsors over a Dedekind scheme

Michael Broshi|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了在戴德金德概形上关于 $G$- torsor 的三种视角之间的等价性：几何 torsor、从 $G$ 的表示到向量丛的张量函子，以及张量构造的自同构群。它将谢瓦莱的半不变量定理和诺里-萨维德拉的塔南卡安对偶性推广到戴德金德基底，证明了在域上关于正规完备曲线的 $G$- torsor 的纤维范畴是基域上局部有限表现的阿廷堆栈。

ABSTRACT

We prove the equivalence of three "points of view" of the notion of a G-torsor when the base scheme is a Dedekind scheme. As an application, we show that the fibered category of G-torsors on a regular proper curve over a field k is an Artin stack locally of finite presentation over k.

研究动机与目标

• 将关于 $G$- torsor 在域上的经典结果推广到戴德金德概形基底的情形，推广谢瓦莱关于半不变量的定理。
• 在戴德金德概形上建立 $G$- torsor 与从 $\mathbf{Rep}\,G$ 到 $Y$ 上向量丛的张量函子之间的塔南卡安等价。
• 证明在域上关于正规完备曲线的 $G$- torsor 的纤维范畴是基域上局部有限表现的阿廷堆栈。
• 为 $G$ 提供一个几何实现，即作为张量构造 $(V,L)$ 的自同构群，其中 $V$ 是一个表示，$L$ 是一个局部分裂的线丛。

提出的方法

• 使用塔南卡安对偶性，将 $G$- torsor 与从 $\mathbf{Rep}\,G$ 到 $\mathbf{Bun}_Y$ 的张量函子 $F$ 关联起来，这些函子在纤维上是正合且忠实的。
• 从 $G$ 的一个表示 $V$ 构造一个张量构造 $t(V)$，并配备一个局部分裂的线丛 $L \subset t(V)$，使得 $G \cong \underline{\mathrm{Aut}}(V,L)$。
• 应用忠实平坦下降和 fppf 局部截面，证明 torsor 条件等价于局部平凡化存在性。
• 为一个 $G_Y$- torsor $P$ 定义函子 $F_P: V \mapsto P \times^G (V \times_Y Y_U)$，并证明它诱导出范畴之间的等价。
• 使用余上同调图和 $G$-等变映射，证明诱导映射 $\phi: P_U \times^{G_{Y_U}} (V \times_U Y_U) \to F(V)$ 正确地因式分解且是一个同构。
• 证明逆函子将张量函子 $F$ 映射到 $F(G)$，且通过 $F(\mathcal{O}_G)$ 上的 $G$-作用诱导的同构 $F_P \cong F$，可恢复原始 torsor。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将关于域上 $G$- torsor 的经典理论推广到戴德金德概形基底的情形？
• RQ2 谢瓦莱关于半不变量的定理能否推广到戴德金德概形上的平坦代数群？
• RQ3 是否存在一个类似于域上情形的塔南卡安刻画，用于描述戴德金德概形上的 $G$- torsor？
• RQ4 在什么条件下，域上关于正规完备曲线的 $G$- torsor 的纤维范畴是阿廷堆栈？
• RQ5 每个平坦仿射概群 $G$ 是否都能作为某个张量构造 $(V,L)$ 的自同构群被实现？

主要发现

• $G_Y$- torsor 的范畴自然等价于从 $\mathbf{Rep}\,G$ 到 $\mathbf{Bun}_Y$ 的正合且忠实的张量函子的范畴。
• 对于戴德金德概形 $X$ 上的任意平坦代数群 $G$，存在一个表示 $V$，一个张量构造 $t(V)$，以及一个局部分裂的线丛 $L \subset t(V)$，使得 $G \cong \underline{\mathrm{Aut}}(V,L)$。
• 在域 $k$ 上关于正规完备曲线的 $G$- torsor 的纤维范畴是基域 $k$ 上局部有限表现的阿廷堆栈。
• 函子 $F_P: V \mapsto P \times^G (V \times_Y Y_U)$ 给出一个张量函子，它自然等价于原始的 $G_Y$- torsor $P$。
• 逆构造将张量函子 $F$ 映射到 $F(G)$，这是一个带有 $G_Y$- 作用的概形，且通过同构 $F_P \cong F$ 可恢复原始 torsor。
• 证明的关键步骤在于：利用 $G_U \times_U V_0 \to G_U \times_U V$ 是同构的事实，证明在 $P_U$ 上拉回后，映射 $\phi: P_U \times^{G_{Y_U}} (V \times_U Y_U) \to F(V)$ 是一个同构。