[论文解读] Gabriel localization theory and its applications

Abolfazl Tarizadeh|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文为交换环发展了Gabriel局部化理论，建立了经典局部化的自然推广。证明了环的平坦单射同态恰好对应于某一类Gabriel局部化，为此提供了新的、初等的证明，并刻画了局部化函子的正合性以及局部化环中素理想的结构。

ABSTRACT

In this article first we develop the Gabriel localizations (abbreviated as G-localizations) for commutative rings, specially some new results in this direction are proven. Then, as an application, it is shown that a ring map is a flat epimorphism if and only if it corresponds to a kind of the G-localizations. As a by-product of this study, a characterization for the flatness of the quotient rings is given. The exactness of the G-localization functor are characterized. The structure of prime ideals in the G-localization rings are also studied. Finally, it is shown that the Gabriel localization theory is a natural generalization of the usual localization theory.

研究动机与目标

• 为交换环发展Gabriel局部化理论，扩展经典局部化方法。
• 提供一个新且初等的证明，表明环同态是平坦单射同态当且仅当它源于G-局部化。
• 刻画G-局部化函子的正合性，并描述G-局部化环中素理想的结构。
• 表明G-局部化推广了通常的局部化，并为平坦单射同态提供统一框架。

提出的方法

• 将交换环R上的拓扑系统F定义为非空的理想族，其对包含F中元素的理想及有限交运算封闭。
• 引入F-可忽略的R-模作为其每个元素的零化子属于F的模，构成左正合函子F(−)。
• 构造G-局部化R_F为I ∈ F上Hom_R(I, R/F(R))的上确界，配备自然映射j_R: R → R_F。
• 利用上确界的普遍性质，为乘法子集S定义唯一的R-线性映射φ: S⁻¹M → M_F，表明其与通常局部化的相容性。
• 证明映射p ↦ p_F在不属于F的素理想与R_F中不属于F′（R_F上诱导的拓扑）的素理想之间建立双射。
• 证明当F为与乘法子集S相交的理想的族时，通常的局部化S⁻¹R在范畴上同构于R_F。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展交换环的Gabriel局部化理论，以超越经典局部化？
• RQ2 环的平坦单射同态与G-局部化之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 在何种条件下G-局部化函子是正合的？
• RQ4 原环中的素理想与G-局部化环中的素理想之间有何关系？

主要发现

• 环同态是平坦单射同态当且仅当它源于G-局部化，为此提供了新的、初等的证明。
• G-局部化函子是左正合的，其正合性由拓扑系统F的条件所刻画。
• R_F的素理想与R中不属于F的素理想之间存在双射，通过映射p ↦ p_F实现。
• 当F为与乘法子集S相交的理想的族时，通常的局部化S⁻¹R在范畴上同构于R_F。
• F-可忽略模的结构在子模、商模、有限直和及局部化下保持不变。
• 作为G-局部化研究的副产品，获得了商环平坦性的刻画。