[论文解读] Gagliardo-Nirenberg inequalities in Lorentz type spaces and energy equality for the Navier-Stokes system

Yanqing Wang, Wei Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文在无第二指标限制的洛伦兹型空间中建立了广义的加利亚道-尼伦伯格不等式，利用伯恩斯坦不等式、洛伦兹空间嵌入关系及利特尔伍德-帕莱分解。该结果被应用于证明三维纳维-斯托克斯方程的新能量守恒准则，通过在更广的指数范围内允许速度及其梯度属于洛伦兹空间，改进了辛布罗特定理。

ABSTRACT

In this paper, we derive some new Gagliardo-Nirenberg type inequalities in Lorentz type spaces without restrictions on the second index of Lorentz norms, which generalize almost all known corresponding results. Our proof mainly relies on the Bernstein inequalities in Lorentz spaces, the embedding relation among various Lorentz type spaces, and Littlewood-Paley decomposition techniques. In addition, we establish several novel criteria in terms of the velocity or the gradient of the velocity in Lorentz spaces for energy conservation of the 3D Navier-Stokes equations. Particularly, we improve the classical Shinbrot's condition for energy balance to allow both the space-time directions of the velocity to be in Lorentz spaces.

研究动机与目标

• 推导洛伦兹型空间中加利亚道-尼伦伯格不等式的最一般形式，消除对洛伦兹范数第二指标的先前限制。
• 将加利亚道-尼伦伯格不等式的适用范围扩展至洛伦兹空间中的临界与次临界情形，特别是分数阶导数的情形。
• 利用速度及其在洛伦兹空间中的梯度，建立三维纳维-斯托克斯方程能量守恒的新充分条件。
• 通过允许速度及其梯度属于洛伦兹空间，改进经典能量平衡结果（如辛布罗特定理），使速度在空间与时间方向均能进入洛伦兹空间。
• 基于速度及其导数的洛伦兹空间范数，提供一个统一的能量守恒准则框架。

提出的方法

• 在洛伦兹空间中利用伯恩斯坦不等式控制频带局部化范数。
• 利用各类洛伦兹型空间之间的嵌入关系，关联不同函数空间范数。
• 应用利特尔伍德-帕莱分解，将函数分解为二进频带块，实现精确估计。
• 推导洛伦兹空间中的一般加利亚道-尼伦伯格不等式：$\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$，其中 $\frac{n}{p}-\sigma = \theta\frac{n}{q} + (1-\theta)(\frac{n}{r}-s)$。
• 将新不等式应用于三维纳维-斯托克斯系统，通过洛伦兹空间中的插值与赫尔德不等式推导能量守恒准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在洛伦兹空间中建立无第二指标限制的一般加利亚道-尼伦伯格不等式？
• RQ2 此类不等式如何用于推导三维纳维-斯托克斯方程能量守恒的新准则？
• RQ3 通过允许速度及其梯度属于洛伦兹空间，辛布罗特定理的古典能量平衡条件能在多大程度上得到改进？
• RQ4 利特尔伍德-帕莱分解与伯恩斯坦不等式在洛伦兹型函数空间中推导精确估计时起到何种作用？
• RQ5 在经典 $L^2$ 基准则之外，三维纳维-斯托克斯方程的能量等式在何种函数空间范围内成立？

主要发现

• 在洛伦兹空间中建立了新的广义加利亚道-尼伦伯格不等式：$\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$，适用于 $0 < \theta < 1 - \frac{\sigma}{s}$ 且 $s - \frac{n}{r} \neq \sigma - \frac{n}{p}$。
• 该不等式推广并消除了此前洛伦兹空间中相关结果的限制，包括哈贾伊耶-余-斋、麦克科罗克-罗宾逊-罗德里戈以及道-迪亚兹-阮的研究成果。
• 证明了当 $v \in L^\infty(0,T;L^2) \cap L^2(0,T;\dot{H}^1)$ 且 $\nabla v \in L^p(0,T;L^{q,\infty})$，其中 $3/2 < q < 9/5$ 且 $1/s < p < 3$ 时，三维纳维-斯托克斯方程满足能量守恒。
• 通过允许速度在空间与时间方向均属于洛伦兹空间，改进了辛布罗特定理，显著扩展了适用范围。
• 能量等式通过洛伦兹空间中的插值与赫尔德不等式建立，其中新加利亚道-尼伦伯格不等式作为关键工具。
• 该结果被推广至贝索夫-洛伦兹空间，表明在 $p_1$、$q_1$ 与 $s$ 满足适当条件时，$\int_0^T \|\nabla v\|^{p_1}_{L^{q_1}} ds < \infty$ 可推出能量守恒。