[论文解读] Gain and phase type multipliers for feedback robustness

Axel Ringh, Xin Mao+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Stability and Control of Uncertain Systems被引用 6

一句话总结

该论文证明，针对结构化不确定性（特别是增益型（幅值）或相位型（相位）不确定性）的鲁棒反馈稳定性，要求存在相应的结构化乘子：针对相位不确定性鲁棒性的，需存在增益型乘子（对角块为零）；针对增益不确定性鲁棒性的，需存在相位型乘子（非对角块为零）。其核心贡献在于揭示了不确定性类型与乘子结构之间的对偶性，将小增益定理与小相位定理统一于积分二次约束框架之中。

ABSTRACT

It is known that the stability of a feedback interconnection of two linear time-invariant systems implies that the graphs of the open-loop systems are quadratically separated. This separation is defined by an object known as the multiplier. The theory of integral quadratic constraints shows that the converse also holds under certain conditions. This paper establishes that if the feedback is robustly stable against certain structured uncertainty, then there always exists a multiplier that takes a corresponding form. In particular, if the feedback is robustly stable to certain gain-type uncertainty, then there exists a corresponding multiplier that is of phase-type, i.e., its diagonal blocks are zeros. These results build on the notion of phases of matrices and systems, which was recently introduced in the field of control. Similarly, if the feedback is robustly stable to certain phase-type uncertainty, then there exists a gain-type multiplier, i.e., its off-diagonal blocks are zeros. The results are meaningfully instructive in the search for a valid multiplier for establishing robust closed-loop stability, and cover the well-known small-gain and the recent small-phase theorems.

研究动机与目标

• 通过乘子理论，建立在结构化不确定性下鲁棒反馈稳定性的必要条件。
• 阐明不确定性类型（增益或相位）与乘子结构（相位型或增益型）之间的对偶关系。
• 通过证明鲁棒性蕴含特定结构化乘子的存在性，推广小增益定理与小相位定理。
• 为在需要对特定不确定性类型实现鲁棒性时，将乘子搜索限制在结构化形式提供理论基础。

提出的方法

• 利用带结构化乘子的积分二次约束（IQCs）进行二次图分离。
• 应用Parseval-Plancherel定理，将时域积分与频域不等式关联。
• 采用奇异值分解（SVD）与酉变换，分析在任意酉扰动下的鲁棒性。
• 使用置换矩阵与特征值分析，推导出行列式非零所需的奇异值必要条件。
• 证明在酉扰动下鲁棒稳定性与相位型或增益型乘子存在的等价性。
• 借助矩阵相位理论与扇形矩阵分析，定义并表征相位型乘子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对相位型不确定性的鲁棒稳定性可推出相位型乘子的存在？
• RQ2 对增益型不确定性的鲁棒稳定性是否必然要求存在增益型乘子？
• RQ3 结构化乘子（增益型或相位型）与特定不确定性类下反馈系统的鲁棒性有何关系？
• RQ4 小增益定理与小相位定理能否在乘子存在性的一般框架下统一？
• RQ5 在任意酉扰动下，鲁棒稳定的充要条件在乘子结构方面是什么？

主要发现

• 对任意稳定酉（全通）扰动的鲁棒稳定性，蕴含相位型乘子的存在，即对角块为零的乘子。
• 对任意正标量增益扰动的鲁棒稳定性，蕴含增益型乘子的存在，即非对角块为零的乘子。
• 对于矩阵 A 和 B，对所有酉矩阵 U 和 V 满足 det(I + UAVB) ≠ 0，等价于存在满足二次分离的相位型乘子。
• 若矩阵 A 和 B 的最大奇异值乘积小于 1，则对所有酉扰动的鲁棒性成立，且相位型乘子存在。
• 增益型乘子的存在是正标量不确定性下鲁棒性的充要条件，推广了小增益定理。
• 结果建立了标准IQCs理论的逆命题：对特定不确定性类型的鲁棒性，蕴含对应结构形式乘子的存在。