[论文解读] Galerkin finite element approximation for semilinear stochastic time-tempered fractional wave equations with multiplicative white noise and fractional Gaussian noise

Yajing Li, Yejuan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种伽辽金有限元方法，用于求解由乘性空间-时间白噪声和分数阶高斯噪声驱动的半线性随机时间-调制分数阶波动方程。该文建立了该方程解的存在性、唯一性及正则性，推导了建模误差和空间近似误差的均方误差估计，并在噪声与初始数据满足适当正则性假设下证明了最优收敛速率。

ABSTRACT

To model wave propagation in inhomogeneous media with frequency-dependent power-law attenuation, it is needed to use the fractional powers of symmetric coercive elliptic operators in space and the Caputo tempered fractional derivative in time. The model studied in this paper is semilinear stochastic space-time fractional wave equations driven by infinite dimensional multiplicative white noise and fractional Gaussian noise, because of the potential fluctuations of the external sources. The purpose of this work is to discuss the Galerkin finite element approximation for the semilinear stochastic fractional wave equation. We first provide a complete solution theory, e.g., existence, uniqueness, and regularity. Then the space-time multiplicative white noise and fractional Gaussian noise are discretized, which results in a regularized stochastic fractional wave equation while introducing a modeling error in the mean-square sense. We further present a complete regularity theory for the regularized equation. A standard finite element approximation is used for the spatial operator, and the mean-square priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem are established.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有时间-调制Caputo导数和分数阶拉普拉斯算子的半线性随机空间-时间分数阶波动方程的数值格式。
• 解决利用分数阶算子建模具有频率相关衰减的非均匀介质中波动传播的挑战。
• 引入现实的噪声源——乘性空间-时间白噪声和分数阶高斯噪声——以反映外部涨落的影响。
• 建立完整的解理论，包括随机分数阶波动方程的存在性、唯一性和正则性。
• 推导建模误差（源于噪声正则化）和有限元近似误差的均方误差估计，确保收敛性。

提出的方法

• 采用时间方向阶数为 α ∈ (3/2, 2) 的Caputo调制分数阶导数和谱分数阶拉普拉斯算子 (−Δ)^β（其中 β ∈ (1/2, 1)）来表述随机分数阶波动方程。
• 对无限维乘性白噪声和分数阶高斯噪声进行正则化，以实现数值处理。
• 在有界凸多边形区域上，使用一致有限元空间对空间进行离散化，应用伽辽金有限元方法。
• 推导建模误差（由噪声正则化引起）和有限元近似误差的均方先验估计。
• 采用随机演化方程框架，结合拉普拉斯算子的谱分解，并通过独立的分数阶布朗运动表示噪声。
• 利用Mittag-Leffler函数 Eα,α(·) 表示方程确定部分的基本解，并通过指数调制控制其衰减行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有乘性白噪声和分数阶高斯噪声的半线性随机时间-调制分数阶波动方程的解是否存在、唯一且具有正则性？
• RQ2 对无限维噪声项进行正则化后，其对解在均方意义下的影响如何？
• RQ3 正则化后的随机分数阶波动方程的伽辽金有限元近似的收敛速率是多少？
• RQ4 Hurst参数 H ∈ (1/2, 1) 和调制参数 ν 如何影响解的正则性与近似误差？
• RQ5 在乘性噪声存在下，建模误差与空间离散化误差的最优均方误差界是什么？

主要发现

• 在非线性项与噪声满足适当假设下，随机分数阶波动方程的解存在、唯一，并在Sobolev空间 H^2eγ 和 H^2eγ−2β/α 中具有足够的正则性。
• 通过正则化无限维白噪声和分数阶高斯噪声引入的建模误差，在均方意义下有界，其上界为 O(τ²)，其中 τ 为时间步长。
• 有限元近似误差在 H^2eγ−2β/α 范数下的上界为 O(τ²)，表明在给定正则性条件下，时间方向具有二阶收敛性。
• 收敛速率是最优的，且依赖于噪声的正则性，误差受噪声协方差算子特征值之和的控制。
• 误差估计在时间上是一致的，且依赖于调制参数 ν 和 Hurst 参数 H，后者影响噪声路径的Hölder连续性。
• 最终误差界结合了建模误差与近似误差，得到 E∥u(t) − un(t)∥²_H^2eγ−2β/α ≤ Cτ² + C∑(ηₗⁿ)² + C∑(ẽηₗⁿ)²，表明当噪声正则化参数与时间步长趋于零时，解收敛。