[论文解读] Galerkin Method for the numerical solution of the RLW equation by using exponential B-splines

Melis Zorşahin Görgülü, İdris Dağ+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于指数B样条的伽辽金有限元方法，用于求解正则化长波（RLW）方程，该方程是描述浅水波和等离子体波的非线性偏微分方程。该方法在精度和不变量守恒方面表现优异，相较于配置法，其在孤立波传播、相互作用及波生成等基准测试中表现优于或至少不逊于现有伽辽金方法。

ABSTRACT

In this paper, the exponential B-spline functions are used for the numerical solution of the RLW equation. Three numerical examples related to propagation of single solitary wave, interaction of two solitary waves and wave generation are employed to illustrate the accuracy and the efficiency of the method. Obtained results are compared with some early studies.

研究动机与目标

• 开发一种基于指数B样条的鲁棒数值方法，用于求解描述非线性色散波的RLW方程。
• 通过利用指数B样条在处理陡峭梯度和振荡行为方面优于多项式样条的能力，改进现有的基于样条的数值方法。
• 通过三个基准问题验证该方法的精度和守恒性质：单个孤立波传播、双孤立波相互作用以及边界激励下的波生成。
• 将所提方法与现有成熟数值技术进行比较，证明其在误差范数和不变量守恒方面具有优越或相当的性能。

提出的方法

• 将指数B样条函数用作伽辽金有限元方法中的试函数，以逼近RLW方程的解。
• 该方法采用RLW方程的弱形式，导出一组非线性代数方程，并通过迭代方式求解。
• 指数B样条通过引入形状参数p的双曲函数定义，能够更有效地逼近具有快速变化或衰减特性的解。
• 时间积分采用Crank-Nicolson格式，确保时间方向二阶精度和无条件稳定性。
• 通过在计算域外使用扩展节点来实现边界条件，并在边界处施加齐次Neumann条件。
• 在模拟过程中持续监测守恒量 $ C_1 $、$ C_2 $ 和 $ C_3 $，以评估方法的长期稳定性和精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 与传统的多项式B样条或配置法相比，指数B样条能否提供更准确、更稳定的RLW方程数值解？
• RQ2 在长时间模拟中，指数B样条伽辽金方法对不变量 $ C_1 $、$ C_2 $ 和 $ C_3 $ 的守恒性能如何？
• RQ3 该方法在模拟孤立波传播、双孤立波相互作用以及边界激励下的波生成方面具有多高的精度？
• RQ4 在粗略的空间和时间离散化条件下，该方法是否仍能保持高精度，特别是在捕捉波形和振幅方面？
• RQ5 与早期的伽辽金法和配置法相比，该方法在性能和误差范数方面表现如何？

主要发现

• 在单个孤立波测试中，指数B样条伽辽金方法（EBSGM）的 $ L_\infty $ 误差范数低于 $ 1.90 \times 10^{-3} $，表现出高精度。
• 在双孤立波相互作用测试中，该方法在长时间模拟中将不变量 $ C_1 $、$ C_2 $ 和 $ C_3 $ 的相对误差控制在 $ 0.1\text{--}0.3\text{ percent} $ 之间，表明其具有优异的守恒性能。
• 在波生成测试中，该方法成功模拟出振幅为 $ U_0 = 2 $ 的孤立波，且在 $ t = 100 $ 时振幅稳定在约 3.76，与先前研究结果一致。
• 在 $ t = 100 $ 时计算得到的波振幅（3.76）与先前研究工作 [10, 25, 34] 的结果高度吻合，证实了该方法的可靠性。
• 与基于配置法的指数B样条方法相比，该方法在波传播过程中显著减小了振幅误差，表现出更优的精度。
• 在长时间模拟中，$ C_1 $、$ C_2 $ 和 $ C_3 $ 的守恒性保持稳定，其中 $ C_1 $ 仅从 8.94 略增至 78.26，表明方法具有良好的鲁棒性。