[论文解读] Galerkin Methods for the Fully Nonlinear Monge-Ampère Equation

Xiaobing Feng, Michael Neilan|ArXiv.org|Dec 7, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过消失矩方法对完全非线性 Monge-Ampère 方程应用 Galerkin 有限元法与谱方法，将方程正则化为四阶拟线性问题。主要贡献在于获得了关于正则化参数 $\varepsilon$ 显式依赖关系的最优误差估计，数值结果表明当 $h = \varepsilon^{1/2}$ 时，全局误差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ 达到最优收敛率。该方法通过固定点论证克服了标准扰动技术的失效，依赖于线性化问题及其有限元逼近的稳定性。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes finite element Galerkin and spectral Galerkin methods for approximating viscosity solutions of the fully nonlinear Monge-Ampère equation $\det(D^2u^0)=f$ based on the vanishing moment method which was developed by the authors in \cite{Feng2,Feng1}. In this approach, the Monge-Ampère equation is approximated by the fourth order quasilinear equation $-εΔ^2 u^ε+ \det{D^2u^ε} =f$ accompanied by appropriate boundary conditions. This new approach allows one to construct convergent Galerkin numerical methods for the fully nonlinear Monge-Ampère equation, a task which has been impracticable before. In this paper, we first develop some finite element and spectral Galerkin methods for approximating the solution $u^ε$ of the regularized fourth order problem. We then derive optimal order error estimates for the proposed numerical methods. In particular, we track explicitly the dependence of the error bounds on the parameter $\vepsi$, for the error $u^ε-u^ε_h$. Finally, using the Aygris finite element method as an example, we present a detailed numerical study of the rates of convergence in terms of powers of $\vepsi$ for the error $u^0-u_h^\vepsi$, and numerically examine what is the "best" mesh size $h$ in relation to $\vepsi$ in order to achieve these rates.

研究动机与目标

• 开发完全非线性 Monge-Ampère 方程的收敛 Galerkin 数值方法，该方程此前因强非线性而难以处理。
• 分析正则化后的四阶拟线性问题 $-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$ 的有限元与谱 Galerkin 方法。
• 为 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ 推导出关于正则化参数 $\varepsilon$ 显式依赖关系的最优误差估计。
• 确定网格尺寸 $h$ 与正则化参数 $\varepsilon$ 之间的最优关系，以实现全局误差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ 的最佳收敛率。

提出的方法

• 应用消失矩方法将完全非线性 Monge-Ampère 方程正则化为四阶拟线性 PDE：$-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$。
• 使用 Galerkin 有限元法与谱 Galerkin 方法逼近正则化问题的解 $u^\varepsilon$。
• 采用固定点技术克服标准扰动方法失效的问题，依赖于线性化问题及其有限元逼近的稳定性。
• 分析 $L^2$、$H^1$ 与 $H^2$ 范数下的误差，跟踪误差界中 $\varepsilon$ 的显式依赖关系。
• 以 Aygris 有限元方法作为数值示例，研究 $h$ 与 $\varepsilon$ 下的收敛率。
• 通过 $u^0 = x^4 + y^2$ 与 $u^0 = 20x^6 + y^6$ 的数值实验，测试不同 $h$-$\varepsilon$ 关系下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $h$ 与 $\varepsilon$ 的关系下，Galerkin 方法对正则化 Monge-Ampère 问题的最优收敛率是什么？
• RQ2 误差 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ 如何依赖于正则化参数 $\varepsilon$？
• RQ3 当强非线性导致标准扰动技术失效时，能否使用固定点论证建立最优误差估计？
• RQ4 为实现全局误差 $u^0 - u_h^\varepsilon$ 的最优收敛率，网格尺寸 $h$ 相对于 $\varepsilon$ 的最佳选择是什么？
• RQ5 当 $h = \varepsilon^{1/2}$ 时，$u^0 - u_h^\varepsilon$ 的收敛率是否与 $u^0 - u^\varepsilon$ 的收敛率一致？

主要发现

• 在 $L^2$、$H^1$ 与 $H^2$ 范数下，为 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$ 推导出最优误差估计，且对 $\varepsilon$ 的依赖关系显式给出。
• 数值结果表明，误差收敛速度快于理论预测：当 $\varepsilon = 0.001$ 时，$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{L^2} \approx O(h^6)$，$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^1} \approx O(h^5)$，$\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^2} \approx O(h^4)$。
• 当 $h = \varepsilon^{1/2}$ 时，全局误差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^2}$ 以 $O(\varepsilon^{1/4})$ 收敛，与 $\|u^0 - u^\varepsilon\|_{H^2}$ 的收敛率一致。
• 当 $h = \varepsilon^{1/2}$ 时，全局误差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{L^2}$ 以 $O(\varepsilon)$ 收敛，与 $\|u^0 - u^\varepsilon\|_{L^2}$ 的收敛率一致。
• 当 $h = \varepsilon$ 时，$H^1$-误差 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^1}$ 以 $O(\varepsilon^{1/2})$ 收敛，表明性能次优。
• 关系 $h = \varepsilon^{1/2}$ 在数值上被证实为实现所有范数下全局误差最优收敛率的最佳选择。