[论文解读] Galerkin v. discrete-optimal projection in nonlinear model reduction.

Kevin Carlberg, Matthew Barone+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文对时间积分非线性问题中的Galerkin方法与离散最优降阶模型（ROM）技术进行了理论与实验比较。结果表明，在湍流可压缩流中，离散最优ROM可优于Galerkin ROM；并证明误差并不一定随时间步长减小而降低——相反，当时间步长与降阶基的谱内容相匹配时，可实现最优性能，使一个具有100万自由度的流动问题的误差和仿真时间均降低一个数量级。

ABSTRACT

Discrete-optimal model-reduction techniques such as the Gauss{Newton with Approximated Tensors (GNAT) method have shown promise, as they have generated stable, accurate solutions for large-scale turbulent, compressible ow problems where standard Galerkin techniques have failed. However, there has been limited comparative analysis of the two approaches. This is due in part to difficulties arising from the fact that Galerkin techniques perform projection at the time-continuous level, while discrete-optimal techniques do so at the time-discrete level. This work provides a detailed theoretical and experimental comparison of the two techniques for two common classes of time integrators: linear multistep schemes and Runge{Kutta schemes. We present a number of new ndings, including conditions under which the discrete-optimal ROM has a time-continuous representation, conditions under which the two techniques are equivalent, and time-discrete error bounds for the two approaches. Perhaps most surprisingly, we demonstrate both theoretically and experimentally that decreasing the time step does not necessarily decrease the error for the discrete-optimal ROM; instead, the time step should be `matched' to the spectral content of the reduced basis. In numerical experiments carried out on a turbulent compressible- ow problem with over one million unknowns, we show that increasing the time step to an intermediate value decreases both the error and the simulation time of the discrete-optimal reduced-order model by an order of magnitude.

研究动机与目标

• 为解决在非线性模型降阶中Galerkin与离散最优ROM技术之间缺乏比较分析的问题。
• 解决由两种投影方法的时间连续性与时间离散性本质差异所引发的根本性挑战。
• 推导离散最优ROM可表示为时间连续形式的条件，以及两种方法在何种情况下等价。
• 为Galerkin与离散最优ROM方法建立时间离散误差界。
• 研究时间步长对离散最优ROM在湍流、高保真度仿真中精度与效率的影响。

提出的方法

• 对线性多步法与Runge-Kutta时间积分器的Galerkin与离散最优投影进行理论分析。
• 推导离散最优ROM可表示为时间连续形式的条件。
• 在特定基与时间步长约束下，建立Galerkin与离散最优ROM等价的条件。
• 利用稳定性与逼近理论，为两种方法建立时间离散误差界。
• 在具有超过一百万个自由度的湍流可压缩流动问题上开展数值实验。
• 系统性地改变时间步长，研究其对离散最优ROM误差与计算成本的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，离散最优ROM可表示为时间连续形式？
• RQ2 在时间积分非线性系统背景下，Galerkin与离散最优ROM在何种情况下等价？
• RQ3 对于线性多步法与Runge-Kutta格式，Galerkin与离散最优ROM的时间离散误差界有何差异？
• RQ4 减小时间步长是否总是降低离散最优ROM的误差？还是存在最优步长？
• RQ5 将时间步长与降阶基的谱内容相匹配，是否能提升高保真度流动仿真中的精度与效率？

主要发现

• 当时间积分器与基结构满足特定条件时，离散最优ROM可表示为时间连续形式。
• 当降阶基为时间连续且时间积分器满足特定一致性条件时，Galerkin与离散最优ROM等价。
• 为两种方法推导出时间离散误差界，结果表明其收敛行为因投影策略而异。
• 减小时间步长并不总是降低离散最优ROM的误差；相反，当时间步长与降阶基的谱内容相匹配时，误差达到最小。
• 在一个具有超过一百万个自由度的湍流可压缩流动问题中，将时间步长增加至中间值，使误差与仿真时间均降低一个数量级。
• 最优时间步长由降阶基的谱内容决定，而非单纯由稳定性或截断误差考虑决定。