[论文解读] Galilean conformal algebras in two spatial dimension

N. Aizawa, Yuta Kimura|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用 9

一句话总结

该论文对 (2+1) 维时空中的无限维伽利略共形代数（标记为自旋 $π$）进行了中心扩张的分类，并确定了 Verma 模的不可约性。结果表明，$P_r^i$ 子代数为阿贝尔代数，禁止了非平凡中心扩张；对于整数 $π$，推导出显式的 Kac 表示式，证明当最高权非零时 Verma 模不可约，当最高权为零时可约；对于半整数 $π$，由于在第 1/2 层存在奇异向量，所有 Verma 模均为可约。

ABSTRACT

A class of infinite dimensional Galilean conformal algebra in (2+1) dimensional spacetime is studied. Each member of the class, denoted by \alg_{\ell}, is labelled by the parameter \ell. The parameter \ell takes a spin value, i.e., 1/2, 1, 3/2, .... We give a classification of all possible central extensions of \alg_{\ell}. Then we consider the highest weight Verma modules over \alg_{\ell} with the central extensions. For integer \ell we give an explicit formula of Kac determinant. It results immediately that the Verma modules are irreducible for nonvanishing highest weights. It is also shown that the Verma modules are reducible for vanishing highest weights. For half-integer \ell it is shown that all the Verma module is reducible. These results are independent of the central charges.

研究动机与目标

• 对 (2+1) 维时空中的无限维伽利略共形代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 的所有可能中心扩张进行分类。
• 通过最高权 Verma 模研究这些代数的表示理论。
• 确定 Verma 模不可约性的条件，特别是与最高权和自旋 $π$ 的关系。
• 阐明有限维与无限维伽利略共形代数在结构与表示理论上的差异，尤其是关于中心扩张与奇异向量的问题。

提出的方法

• 代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 由生成元 $L_m$、$J_m$ 和 $P_r^i$（$m \in \mathbb{Z}$，$r \in \mathbb{Z}+\ell$，$i=1,2$）定义，满足特定交换关系。
• 通过分析 $P_r^i$ 子代数上的余上同调条件对中心扩张进行分类，得出定理 1：该子代数不存在中心扩张。
• 通过三角分解 $\tilde{\mathfrak{g}}_{\ell} = \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^- \oplus \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^0 \oplus \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^+$ 构造 Verma 模，其中最高权态 $|0\rangle$ 满足 $L_n|0\rangle = J_n|0\rangle = P_r^i|0\rangle = 0$（$n,r > 0$）。
• 对于整数 $\ell$，推导出显式的 Kac 表示式，从而可分析不可约性。
• 对于半整数 $\ell$，识别出奇异向量 $|v_{\pm}\rangle = (P^{1}_{-1/2} \pm i P^{2}_{-1/2})|0\rangle$，证明所有 Verma 模均为可约。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (2+1) 维的无限维伽利略共形代数中，$P_r^i$ 生成元是否允许中心扩张？若允许，其结构如何？
• RQ2 当 $\ell$ 为整数时，${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 上 Verma 模的显式 Kac 表示式为何？
• RQ3 在何种条件下，${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 上的 Verma 模不可约或可约，特别是针对非零与零最高权的情况？
• RQ4 为何当 $\ell$ 为半整数时所有 Verma 模均为可约？代数的何种结构特征导致此现象？
• RQ5 与有限维情形相比，$P_r^i$ 子代数的阿贝尔性质如何影响其表示理论？

主要发现

• ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 的 $P_r^i$ 子代数不存在中心扩张，如定理 1 所证，这与有限维情形形成对比：在有限维情形中，当 $\ell$ 为整数时存在非平凡中心扩张。
• 对于整数 $\ell$，显式推导出 Kac 表示式，表明当最高权非零时 Verma 模不可约，当最高权为零时可约。
• 对于整数 $\ell$，Verma 模在最高权非零时不可约，在最高权为零时可约，且与中心荷无关。
• 对于半整数 $\ell$，所有 Verma 模均为可约，原因在于第 1/2 层存在奇异向量 $|v_{\pm}\rangle = (P^{1}_{-1/2} \pm i P^{2}_{-1/2})|0\rangle$，且与中心荷无关。
• 结果与中心荷 $c_1$、$c_2$ 和 $c_3$ 无关，表明不可约性性质由 $P_r^i$ 生成元的阿贝尔结构所主导。
• 在无限维情形下不存在非平凡中心扩张，与有限维伽利略共形代数形成鲜明对比：在有限维情形中，当 $\ell$ 为整数时存在此类扩张。