[论文解读] Galilean invariance in 2+1 dimensions

Yves Brihaye, Cezary Gonera+2 more|ArXiv.org|Mar 8, 1995

Quantum and Classical Electrodynamics被引用 32

一句话总结

本文研究了2+1维伽利略群的射影表示，揭示了一个由质量（m）、自旋类似参数（g）和一种新型反对称洛伦兹-动量项（k）参数化的三参数中心扩张族。研究表明，非零k会导致位置算符非对易，并导致修正的不确定性原理，暗示任意子类行为；然而，物理一致性要求排除某些表示，而其他表示则产生新颖的量子现象，如非定域态和修正的简谐振子谱。

ABSTRACT

The Galilean invariance in three dimensional space-time is considered. It appears that the Galilei group in 2+1 dimensions posses a three-parameter family of projective representations. Their physical interpretation is discussed in some detail.

研究动机与目标

• 分析2+1维伽利略群射影表示的结构，其与3+1维情况有本质不同，原因在于旋转群更简单。
• 识别并分类2+1D伽利略代数的三参数中心扩张族，特别关注新参数k的作用。
• 研究这些表示的物理诠释，尤其是关于局域化、位置算符以及卡西米尔不变量的存在性。
• 考察非零k的后果，包括位置算符非对易性和修正的不确定性关系，并评估其物理可行性。
• 通过变量重定义，将k ≠ 0的量子与经典理论与标准理论进行比较，并分析其对简谐振子等系统的影响。

提出的方法

• 推导2+1D伽利略群的李代数，并通过向P、K和H的对易关系中添加中心荷来计算其中心扩张。
• 利用雅可比恒等式和重定义（例如K_i → K_i + (k/(2m))ε_ij P_j）在m ≠ 0时消除k，表明此时k在物理上是冗余的。
• 通过指数参数化构造通用覆盖群：g = exp(-iτH)exp(iu·P)exp(iv·K)exp(iθJ)，以支持表示理论。
• 将位置算符定义为X_i = (1/m)K_i + (k/m²)ε_ij P_j，由此导出[X_i, X_j] = -i(k/m²)ε_ij。
• 分析不确定度关系△X₁△X₂ ≥ |k|/(2m²)，并利用动量空间波函数f(p) = F(γp₁ - ip₂)exp[u + (k/(2m²))(γp₁ - ip₂)]p₁构造达到该界限的波函数。
• 通过泊松括号建立经典类比，其中包含一项非标准项：{F,G} = ∂F/∂x_i ∂G/∂p_i - ∂F/∂p_i ∂G/∂x_i - (k/m²)ε_ij ∂F/∂x_i ∂G/∂x_j。

实验结果

研究问题

• RQ1 2+1维伽利略代数的中心扩张结构是什么？其射影表示由多少个独立参数参数化？
• RQ2 非零k参数如何影响2+1维中的位置算符和不确定性原理？
• RQ3 是否可以通过场重定义将k ≠ 0理论的物理内容重新诠释为标准伽利略理论？
• RQ4 位置算符非对易性对态局域化及位置可观测量的存在性有何影响？
• RQ5 与标准情况相比，k ≠ 0情况下简谐振子的谱有何不同？是否可通过重定义将其映射为标准振子？

主要发现

• 2+1D伽利略群允许一个由m（质量）、g（与角动量相关）和k（反对称洛伦兹-动量项）参数化的三参数非等价射影表示族。
• 当m ≠ 0时，可通过重定义K_i → K_i + (k/(2m))ε_ij P_j消除k参数，表明此时k在物理上是冗余的。
• 位置算符变为非对易：[X_i, X_j] = -i(k/m²)ε_ij，导致位置存在最小不确定度：△X₁△X₂ ≥ |k|/(2m²)。
• 存在达到不确定度界限的波函数，其形式为f(p) = F(γp₁ - ip₂)exp[u + (k/(2m²))(γp₁ - ip₂)]p₁，其中F的选择以保证归一化。
• 通过代换x_i = x_si + (k/(2m²))ε_ij p_sj, p_i = p_si, K_i = K_si - (k/(2m))ε_ij p_sj，可将k ≠ 0的经典理论映射为标准理论。
• 对于简谐振子，k ≠ 0情况下的哈密顿量变为H = (p_s²)/(2m_s) + (m_s ω_s² x_s²)/2 + γ J_s，其中m_s⁻¹ = m⁻¹(1 + k²ω²/(4m²))，ω_s² = ω²(1 + k²ω²/(4m²))，γ = kω²/(2m)，表明谱被修正。