[论文解读] Gallai-Ramsey numbers for fans

Yaping Mao, Zhao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了扇图 $F_n = K_1 + nK_2$ 的 Gallai-Ramsey 数的紧致界，对偶数 $k$ 精确求得 $F_2$ 和 $F_3$ 的值，并为所有 $n$ 和 $k$ 提供了一般性的上下界。结果扩展了 Gallai 色彩下 Ramsey 型问题的研究，利用 Gallai 划分的结构特性和递归构造方法，推导出以 $k$ 和 $n$ 表示的指数界。主要贡献在于对 $gr_k(K_3; F_n)$ 的精确刻画，给出了偶数和奇数 $k$ 的精确指数增长速率。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a positive integer $k$, define the \emph{Gallai-Ramsey number} to be the minimum number of vertices $n$ such that any $k$-edge coloring of $K_n$ contains either a rainbow (all different colored) triangle or a monochromatic copy of $G$. In this paper, we obtain general upper and lower bounds on the Gallai-Ramsey numbers for fans $F_{m} = K_{1} + mK_{2}$ and prove the sharp result for $m = 2$ and for $m = 3$ with $k$ even.

研究动机与目标

• 确定 Gallai-Ramsey 数 $gr_k(K_3; F_n)$，即最小的 $n$，使得任意 $k$-边着色的 $K_n$ 中必然包含一个彩虹三角形或一个单色的扇图 $F_n = K_1 + nK_2$。
• 通过聚焦于扇图（其推广了三角形和蝴蝶图）来扩展先前对小图 Gallai-Ramsey 数的研究。
• 为 $gr_k(K_3; F_n)$ 建立一般性的上下界，并证明特定情况（尤其是偶数 $k$ 时的 $F_2$ 和 $F_3$）的精确值。
• 推测 $gr_k(K_3; F_3)$ 的下界对所有 $k$ 均为紧致，并通过递归构造提供支持证据。
• 通过利用 $k$-着色中 Gallai 划分和简化图的结构，统一并推广先前关于 Gallai-Ramsey 数的结果。

提出的方法

• 利用 Gallai 定理：在无彩虹三角形的 $k$-边着色完全图中，由 Gallai 划分导出的 $2$-色简化图。
• 应用递归着色构造：当 $k$ 为偶数时，使用两个 $(k-2)$-色图副本，并在它们之间添加颜色 $k$ 的边；当 $k$ 为奇数时，使用五个副本并构造一个 $2$-色 $K_5$ 结构以避免单色三角形。
• 运用极值图论技术来限制 Gallai 划分中各部分的大小，利用各部分内不相交单色边的约束。
• 对 $k$ 使用归纳法，构建无彩虹三角形且无单色 $F_n$ 的 $k$-色 $K_n$，从而确立下界。
• 基于顶点划分和边着色约束使用反证法推导上界，通过删除顶点以消除单色边。
• 利用已知的 Ramsey 数和结构引理（例如关于仅含红色边的部分的引理 6）来限制 Gallai 划分中子图的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有 $k \geq 2$，$gr_k(K_3; F_2)$ 的精确值是什么？
• RQ2 对 $gr_k(K_3; F_3)$，其紧致上下界为何？且该下界是否对所有 $k$ 均为紧致？
• RQ3 对任意 $n$ 和 $k$，可建立哪些关于 $gr_k(K_3; F_n)$ 的一般性界？
• RQ4 Gallai-Ramsey 数随颜色数 $k$ 和扇图大小 $n$ 的增长方式如何？
• RQ5 能否利用 Gallai 划分和简化图的结构，推导出 $gr_k(K_3; F_n)$ 的精确或近似精确值？

主要发现

• 对于 $F_2$，当 $k=2$ 时，Gallai-Ramsey 数精确为 $gr_k(K_3; F_2) = 9$；当 $k \geq 4$ 为偶数时，为 $\frac{83}{2} \cdot 5^{(k-4)/2} + \frac{1}{2}$；当 $k$ 为奇数时，为 $4 \cdot 5^{(k-1)/2} + 1$。
• 对于 $F_3$ 且 $k$ 为偶数，精确值为 $gr_k(K_3; F_3) = 14 \cdot 5^{(k-2)/2} - 1$；当 $k \geq 7$ 为奇数时，界为 $33 \cdot 5^{(k-3)/2} \leq gr_k(K_3; F_3) \leq 33 \cdot 5^{(k-3)/2} + \frac{3}{4} \cdot 5^{(k-5)/2} - \frac{3}{4}$。
• 本文推测 $gr_k(K_3; F_3)$ 的下界是紧致的，即对所有奇数 $k$，有 $gr_k(K_3; F_3) = 33 \cdot 5^{(k-3)/2}$。
• 对 $F_n$ 的一般界为：当 $k$ 为偶数时，$4n \cdot 5^{(k-2)/2} + 1 \leq gr_k(K_3; F_n) \leq 10n \cdot 5^{(k-2)/2} - \frac{5}{2}n + 1$；当 $k$ 为奇数时，$2n \cdot 5^{(k-1)/2} + 1 \leq gr_k(K_3; F_n) \leq \frac{9}{2}n \cdot 5^{(k-1)/2} - \frac{5}{2}n + 1$。
• 通过使用 $2i-1$ 种颜色或 $2i$ 或 $2i+1$ 种颜色的递归构造，生成了无彩虹三角形且无单色 $F_n$ 的 $k$-色 $K_n$，从而证明了下界。
• 证明依赖于从 Gallai 划分的三个部分中最多删除 $10n - 10$ 个顶点以消除所有红色和蓝色边，若图过大则导致矛盾，从而界定了 Ramsey 数。