[论文解读] Galois Connections for Generalized Functions and Relational Constraints

Miguel Couceiro|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文将伽罗瓦理论扩展至多值函数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$，引入了此类函数与 $A$ 和 $B$ 上的关系约束 $(R,S)$ 之间的伽罗瓦连接。它通过基于弱极小项和合取极小项的闭包，刻画了多值函数与约束的伽罗瓦闭集，推广了针对单值函数的先前结果，并通过 ${\bf LO}$、${\bf wCM}$ 和 ${\bf CM}$ 对闭包算子进行了分解。

ABSTRACT

In this paper we focus on functions of the form $A^n ightarrow \mathcal{P}(B)$, for possibly different arbitrary non-empty sets $A$ and $B$, and where $\mathcal{P}(B)$ denotes the set of all subsets of $B$. These mappings are called \emph{multivalued functions}, and they generalize total and partial functions. We study Galois connections between these generalized functions and ordered pairs $(R,S)$ of relations on $A$ and $B$, respectively, called \emph{constraints}. We describe the Galois closed sets, and decompose the associated Galois operators, by means of necessary and sufficient conditions which specialize, in the total single-valued case, to those given in the author's previous work [M. Couceiro, S. Foldes. On closed sets of relational constraints and classes of functions closed under variable substitutions, Algebra Universalis 54 (2005) 149-165].

研究动机与目标

• 将伽罗瓦连接从单值函数推广至多值函数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$。
• 定义并刻画多值函数与关系约束 $(R,S)$ 的伽罗瓦闭集。
• 将先前关于函数类可定义性与约束满足问题的结果推广至多值设定。
• 通过局部闭包、弱合取极小项与合取极小项对闭包算子进行分解。
• 恢复并推广已知的单值函数闭集类及其对偶约束集的刻画。

提出的方法

• 在多值函数集合 $A^n \to \mathcal{P}(B)$ 与满足 $R \subseteq A^m$、$S \subseteq B^m$ 的关系对 $(R,S)$ 之间引入伽罗瓦连接。
• 通过广义定义（其中 $S$ 定义在 $B$ 上而非 $\mathcal{P}(B)$ 上）定义多值函数的约束满足，从而与先前框架区分开来。
• 通过推广 [CF] 中单值函数的条件，刻画多值函数伽罗瓦闭集类的闭包条件。
• 引入并分析三种闭包算子：${\bf LO}$（局部闭包）、${\bf wCM}$（弱合取极小项）和 ${\bf CM}$（合取极小项），作用于约束集上。
• 推导闭包映射的分解形式，作为这些算子的复合，表明 ${\bf LO}({\bf wCM}(\mathcal{T}))$ 与 ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T}))$ 分别生成在弱或完整合取极小项下闭包的最小局部闭包集。
• 利用该框架将单值函数的已知结果作为推论恢复，包括闭函数类及其对偶约束集的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将伽罗瓦连接从单值函数推广至多值函数 $A^n \to \mathcal{P}(B)$？
• RQ2 在所提出的对偶关系下，多值函数集合成为伽罗瓦闭集的必要且充分条件是什么？
• RQ3 ${\bf LO}$、${\bf wCM}$ 与 ${\bf CM}$ 闭包算子在刻画约束集的伽罗瓦闭集时如何相互作用？
• RQ4 这些结果在何种意义上推广或特化了对单值函数闭集类及其对偶约束集的已知刻画？
• RQ5 各种函数类（全函数、部分函数、单值函数）的闭包映射能否分解为更简单算子的复合？

主要发现

• 多值函数的伽罗瓦闭集类由推广自 [CF] 中单值函数的闭包条件刻画。
• 约束的伽罗瓦闭集完全由局部闭包、弱合取极小项与合取极小项下的闭包所决定，且提供了显式分解。
• 全多值函数的闭包算子为 ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (A,B) \}))$，表明其在合取极小项与局部闭包下闭包。
• 部分函数的闭包算子为 ${\bf LO}({\bf wCM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (A,B), (=_{A},=_{B}) \}))$，包含弱极小项与等式约束。
• 单值函数的闭包算子为 ${\bf LO}({\bf CM}(\mathcal{T} \cup \{ (\emptyset,\emptyset), (=_{A},=_{B}) \}))$，恢复了 [CF] 中已知的刻画。
• 本文证明了在多值设定下，从局部闭包与极小项闭包推出函数可定义性的蕴含关系成立，推广了推论 2 与定理 4。