[论文解读] Galois groups of co-abelian ball quotient covers

Азнив Каспарян|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文对分裂阿贝尔曲面 $A = E \times E$ 的自同构群的有限子群进行分类，其中 $E$ 为椭圆曲线，并通过几何不变量理论确定商曲面 $A/H$ 的凯德拉-恩里克斯类型。文章提供了此类群的显式生成元与关系式，刻画了商曲面为双椭圆、具有椭圆基的纤维化、埃尔伦兹或有理曲面的条件，并通过有限群在托罗伊德紧化上的作用，将这些曲面与球面商的伽罗瓦覆盖联系起来。

ABSTRACT

If $X'= ({\mathbb B} / Γ)'$ is a torsion free toroidal compactification of a discrete ball quotient $X_o={\mathbb B} / Γ$ and $ξ: (X', T = X'\setminus X_o) ightarrow (X, D = ξ(T))$ is the blow-down of the $(-1)$-curves to the corresponding minimal model, then $G'= Aut (X',T)$ coincides with the finite group $G=Aut(X,D)$. In particular, for an elliptic curve $E$ with endomorphism ring $R = End(E)$ and a split abelian surface $X = A = E imes E$, $G$ is a finite subgroup of $Aut(A) = \mathcal{T}_A \leftthreetimes GL(2,R)$, where $(\mathcal{T}_A,+) \simeq (A,+)$ is the translation group of $A$ and $GL(2,R) = \{g \in R_{2 imes 2} \| \det(g) \in R^* \}$. The present work classifies the finite subgroups $H$ of $Aut (A = E imes E)$ for an arbitrary elliptic curve $E$. By the means of the geometric invariants theory, it characterizes the Kodaira-Enriques types of $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$, in terms of the fixed point sets of $H$ on $A$. The abelian and the K3 surfaces $A/H$ are elaborated in \cite{KN}. The first section provides necessary and sufficient conditions for $A/H$ to be a hyper-elliptic, ruled with elliptic base, Enriques or a rational surface. In such a way, it depletes the Kodaira-Enriques classification of the finite Galois quotients $A/H$ of a split abelian surface $A = E imes E$. The second section derives a complete list of the conjugacy classes of the linear automorphisms $g \in GL(2,R)$ of $A$ of finite order, by the means of their eigenvalues. The third section classifies the finite subgroups $H$ of $GL(2,R)$. The last section provides explicit generators and relations for the finite subgroups $H$ of $Aut(A)$ with K3, hyper-elliptic, rules with elliptic base or Enriques quotients $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$.

研究动机与目标

• 对任意椭圆曲线 $E$ 的分裂阿贝尔曲面 $A = E \times E$ 的所有有限子群 $H$ 进行分类。
• 通过 $H$ 在 $A$ 上的不动点集，刻画商曲面 $A/H$ 的凯德拉-恩里克斯类型。
• 通过几何不变量理论，确定 $A/H$ 为双椭圆、具有椭圆基的纤维化、埃尔伦兹或有理曲面的条件。
• 为使得 $A/H$ 为 K3、双椭圆、纤维化或埃尔伦兹曲面的有限子群 $H \subset Aut(A)$ 提供显式生成元与关系式。

提出的方法

• 利用几何不变量理论分析 $A/H$ 的结构，并基于 $H$ 在 $A$ 上的不动点集对 $A/H$ 的凯德拉-恩里克斯类型进行分类。
• 应用 $GL(2,R)$ 中有限阶线性自同构的分类，其分类依据为特征值，其中 $R = \text{End}(E)$。
• 将 $Aut(A)$ 中有限子群 $H$ 的分类问题转化为 $GL(2,R)$ 中有限子群的分类，利用半直积结构 $Aut(A) \simeq \mathcal{T}_A \ltimes GL(2,R)$。
• 分析 $H = \Gamma / \Gamma_0$ 在托罗伊德紧化 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 上的作用，其中 $\Gamma_0$ 为无 torsion 的群，$\Gamma$ 为 $SU_{2,1}$ 中的格。
• 利用 $\Gamma_0$ 是 $\Gamma$ 的有限指数正规子群的事实，因此 $H = \Gamma / \Gamma_0$ 作用于边界除子 $T = X' \setminus X_0$，从而得到紧化曲面 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$，其具有至多孤立的循环商奇点。
• 证明 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$ 的最小模型与 $A/H$ 有理同构，并通过奇点的解析与不动点分析计算其数值不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限子群 $H \subset Aut(A = E \times E)$ 使得商曲面 $A/H$ 为凯德拉-恩里克斯类型中的双椭圆、具有椭圆基的纤维化、埃尔伦兹或有理曲面？
• RQ2 对于 $A/H$ 为特定凯德拉-恩里克斯类型的必要与充分条件，其在 $H$ 作用下的不动点集应满足什么性质？
• RQ3 如何通过特征值与阶数对 $GL(2,R)$ 的有限子群进行分类，特别是当 $R = \text{End}(E)$ 且 $E$ 为椭圆曲线时？
• RQ4 哪些有限子群 $H \subset Aut(A)$ 满足 $A/H$ 为 K3、双椭圆、纤维化或埃尔伦兹曲面？请给出其显式生成元与关系式。
• RQ5 共阿贝尔球面商覆盖的伽罗瓦群如何与托罗伊德紧化 $X'$ 及其商曲面 $X'/H$ 的自同构群相关联？

主要发现

• 有限群 $G = \text{Aut}(X,D)$ 与 $G' = \text{Aut}(X',T)$ 一致，其中 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 是无 torsion 球面商 $X_0 = {\mathbb{B}}/\Gamma_0$ 的托罗伊德紧化，$T = X' \setminus X_0$ 为边界除子。
• 对任意有限子群 $H \subset \text{Aut}(A = E \times E)$，商曲面 $A/H$ 与某最小曲面 $Y$ 有理同构，且 $Y$ 的类型（双椭圆、具有椭圆基的纤维化、埃尔伦兹、有理或 K3）由 $H$ 的不动点结构决定。
• 通过特征值对 $GL(2,R)$ 的有限子群进行分类，其中有限阶元素的可能阶数为 $s \in \{2,3,4,6\}$，且此类群的结构完全由其线性部分与平移部分决定。
• 利用半直积结构与不动点分析，为使得 $A/H$ 为凯德拉-恩里克斯类型 K3、双椭圆、具有椭圆基的纤维化或埃尔伦兹的有限子群 $H \subset \text{Aut}(A)$ 提供了显式生成元与关系式。
• $H = \Gamma / \Gamma_0$ 在托罗伊德紧化 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 上的作用是良定义的，并保持边界除子 $T$ 不变，从而诱导出紧化曲面 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$，其具有至多孤立的循环商奇点。
• 曲面 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$ 的最小模型与 $A/H$ 有理同构，其数值不变量（如 $K^2$、$\chi$、$p_g$）通过将几何不变量理论应用于 $H$ 在 $A$ 上的作用而计算得出。