[论文解读] Galois groups over rational function fields and explicit Hilbert irreducibility

David Krumm, Nicole Sutherland|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

本论文提出了一种显式计算方法，用于确定多项式 P(t,x) ∈ Q[t,x] 在有理数域上的特殊化中，其伽罗瓦群或因式分解不同于一般情况的例外集合。通过利用伽罗瓦群理论构造代数曲线并计算有理点，作者提供了一套系统方法来识别例外值，该方法通过三个实例加以说明，并应用于证明算术动力系统中关于有理映射周期点的一个新结果。

ABSTRACT

Let $P\in\mathbb Q[t,x]$ be a polynomial in two variables with rational coefficients, and let $G$ be the Galois group of $P$ over the field $\mathbb Q(t)$. It follows from Hilbert's Irreducibility Theorem that for most rational numbers $c$ the specialized polynomial $P(c,x)$ has Galois group isomorphic to $G$ and factors in the same way as $P$. In this paper we discuss methods for computing the group $G$ and obtaining an explicit description of the exceptional numbers $c$, i.e., those for which $P(c,x)$ has Galois group different from $G$ or factors differently from $P$. To illustrate the methods we determine the exceptional specializations of three sample polynomials. In addition, we apply our techniques to prove a new result in arithmetic dynamics.

研究动机与目标

• 开发一种显式算法，用于计算有理数 c ∈ Q 的例外集合，使得 P(c,x) 的伽罗瓦群不同于 P 在 Q(t) 上的典型伽罗瓦群 G。
• 将现有的希尔伯特不可约性定理技术扩展至函数域上的可约多项式，提供显式的排除值有限集，并为例外点定义曲线。
• 将该方法应用于具体实例，包括具有有限和无限例外集合的多项式，并证明算术动力系统中关于有理映射周期点的一个新结果。
• 展示将计算伽罗瓦理论与曲线上有理点计算相结合，以在数论背景下完全表征例外特殊化的可行性。

提出的方法

• 使用希尔伯特不可约性定理的构造性证明，将伽罗瓦群 G 的每个极大子群 Mi 与一个固定域 Fi 及一个在 Q(t) 上生成 Fi 的首一不可约多项式 fi(t,x) 关联起来。
• 将例外集合 E(P) 定义为满足 c 是某个 fi(t,x) 的有理根的有理数 c 的集合，但需排除使判别式 ∆(c) 或首项系数 ℓ(c) 为零的值。
• 使用 Fieker 和 Klüners 的方法计算 P 在 Q(t) 上的伽罗瓦群 G，该方法已扩展至可约多项式，并在 Magma 中实现。
• 使用 Cannon 和 Holt 的算法识别 G 的所有极大子群 Mi，并通过已知的域论技术计算其固定域。
• 将寻找例外特殊化的问题转化为确定由 fi(t,x) = 0 定义的代数曲线上有理点的问题，利用现有的曲线上有理点计算技术。
• 利用 Magma 内置的 HilbertIrreducibilityCurves 函数，自动构造曲线 Ci 的定义方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有理数 c 的集合满足：P(c,x) 的伽罗瓦群不同于 P 在 Q(t) 上的典型伽罗瓦群 G？
• RQ2 对于哪些有理数 c，多项式 P(c,x) 的因式分解方式与 P(t,x) 不同？这些值能否被系统地计算？
• RQ3 即使例外集合为无限集，能否通过代数曲线与有理点计算显式描述该集合？
• RQ4 计算伽罗瓦理论如何在函数域上扩展以处理可约多项式，并应用于数论问题？
• RQ5 该方法能否用于证明算术动力系统中的新结果，例如 p 进域中周期点的分布？

主要发现

• 对于 P(t,x) = x^6 + t^6 - 1，使得 Pc 可约的唯一有理特殊化为 c = 0, ±1，构成一个有限的例外集合。
• 对于 P(t,x) = x^6 - 4x^2 - t^2，存在一个无限族的例外 c，形式为 c = (v^4 + 16)/(8v)，其中 v ∈ Q，此时 Pc 因式分解为两个不可约三次多项式的乘积。
• 对于 P(t,x) = 3x^4 - 4x^3 + 1 + 3t^2，例外集合为无限集，参数化形式为 c = (v^3 - 9v)/(9(1 - v^2))，其中 v ∈ Q，且 Gc 同构于 A4、(Z/2Z)^2 或 Z/2Z，具体取决于 v。
• 对于多项式 P(t,x) = t^4x^3 + a(t)x^2 + b(t)x + c(t)，例外集合 E(P) 是有限的，这是由法尔廷斯定理应用于定义例外轨迹的亏格 4 和 5 的曲线所证明的。
• 该方法证明：对于所有但有限多个 k ∈ Q，映射 φk,b(z) = kz + b/z 在至少三分之一的素数 p（按自然密度）的 Qp 中无周期为五的点，从而推广了 Manes 的有限性结果。
• 该算法成功计算了 Q(t) 上可约多项式的伽罗瓦群与固定域，包括 30 次分圆多项式 Φ5 的情形，尽管对高指数子群的固定域计算在计算上仍不可行。