[论文解读] Galois groups over rational function fields over skew fields

Gil Alon, François Legrand+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在中心 $ k $ 包含一个充裕域的前提下，解决了在有理函数域 $ H(X) $ 上的逆伽罗瓦问题，其中 $ H $ 是其中心 $ k $ 上有限维的斜域。通过证明 $ H(X) $ 同构于 $ k $ 上 $ n $ 个中心变量的有理函数域，作者将问题约化为先前已解决的情形，从而证明了每个有限群都可作为 $ H(X) $ 上的伽罗瓦群出现。

ABSTRACT

Let $H$ be a skew field of finite dimension over its center $k$. We solve the Inverse Galois Problem over the field of fractions $H(X)$ of the ring of polynomial functions over $H$ in the variable $X$, if $k$ contains an ample field.

研究动机与目标

• 将逆伽罗瓦问题推广至斜域上的有理函数域，特别是 $ H(X) $，其中 $ H $ 是其中心 $ k $ 上有限维的斜域。
• 通过将已有在交换函数域上的结果推广至斜域扩张，填补非交换情形下逆伽罗瓦理论的空白。
• 在中心 $ k $ 包含充裕域的条件下，建立每个有限群都可作为 $ H(X) $ 上的伽罗瓦群。
• 通过证明 $ H[X] $（非中心变量）与 $ H_c[t_1,\dots,t_n] $（中心变量）的同构，弥合斜域上两种不同多项式构造之间的鸿沟。
• 证明逆伽罗瓦问题在斜域同构下是代数不变量，从而实现同构域之间结果的转移。

提出的方法

• 利用 Wilczynski 的结果，证明在非中心变量 $ X $ 上的斜域 $ H $ 的多项式环 $ H[X] $ 同构于 $ n $ 个中心变量上的多项式环 $ H_c[t_1,\dots,t_n] $，其中 $ n = [H:k] $。
• 证明当 $ k $ 无限时，$ H[X] $ 是右欧氏域，从而保证其经典右分式域 $ H(X) $ 的存在性。
• 利用同构 $ H(X) \cong H_c(t_1,\dots,t_n) $，将 $ H(X) $ 上的问题约化为已知的 $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ 上的情形，借助 Deschamps 与 Legrand 的已有结果。
• 应用斜域同构下逆伽罗瓦问题的代数不变性（命题 3.1），证明若有限群 $ G $ 可在 $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ 上实现，则它也可在 $ H(X) $ 上实现。
• 验证 $ H_c(t_1,\dots,t_{n-1}) $ 的中心为 $ k(t_1,\dots,t_{n-1}) $，该中心继承自 $ k $ 的充裕性，从而可应用 [DL19, Théorème B]。
• 利用 $ H_c(t_1,\dots,t_n) $ 是其中心的有限维斜域扩张这一事实，确保 Deschamps 与 Legrand 的基础结果适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 若斜域 $ H $ 的中心 $ k $ 包含一个充裕域，则每个有限群是否都能在有理函数域 $ H(X) $ 上实现为伽罗瓦群？
• RQ2 在非中心变量 $ X $ 上的斜域 $ H $ 的多项式环 $ H[X] $ 是否同构于 $ H $ 上 $ n $ 个中心变量的多项式环，其中 $ n = [H:k] $？
• RQ3 斜域上的逆伽罗瓦问题是否仅依赖于基斜域的同构类，还是可在同构域之间转移？
• RQ4 分式域 $ H(X) $ 的结构是什么，它与中心 $ k $ 上中心变量的有理函数域有何关系？
• RQ5 当有限维斜域 $ H $ 的中心 $ k $ 满足何种条件时，$ H(X) $ 上的逆伽罗瓦问题有正解？

主要发现

• 当 $ k $ 无限时，非中心变量 $ X $ 上的多项式环 $ H[X] $ 的分式域 $ H(X) $ 同构于 $ n $ 个中心变量的有理函数域 $ H_c(t_1,\dots,t_n) $，其中 $ n = [H:k] $。
• 当斜域 $ H $ 的中心 $ k $ 包含一个充裕域时，$ H(X) $ 上的逆伽罗瓦问题有正解，即每个有限群都可作为 $ H(X) $ 上的伽罗瓦群出现。
• 同构 $ H(X) \cong H_c(t_1,\dots,t_n) $ 允许将中心变量情形的结果转移至非中心变量情形，从而通过约化至 [DL19, Théorème B] 解决问题。
• 逆伽罗瓦问题在斜域同构下是不变的：若有限群 $ G $ 可在某一斜域上实现，则它也可在任意同构斜域上实现。
• 该结果适用于基本情形，例如 $ \mathbb{H}(X) $，其中 $ \mathbb{H} $ 是哈密顿四元数的斜域，因为 $ \mathbb{R} $（$ \mathbb{H} $ 的中心）包含充裕域如 $ \mathbb{Q}^{\rm{tr}} $。
• 备注还涵盖了其他情形：例如，若 $ k $ 无限，则在特征零下，每个阿贝尔群、对称群 $ S_m $（$ m \geq 3 $）、交错群 $ A_m $（$ m \geq 4 $）或在正特征下满足 $ n \geq 2 $ 的可解群，都可作为 $ H(X) $ 上的伽罗瓦群实现。