[论文解读] Galois representations and torsion in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties

Matthew Emerton, Davide A. Reduzzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文证明了在 $ p $ 不可分的情况下，对于全实数域 $ F $，在Hilbert模Shimura簇的层上同调中，存在连续的、$ R_m $-线性、二维的伽罗瓦伪表示，这些表示与模 $ p^m $ 的Hecke特征类相关联。关键结果通过弗罗贝尼乌斯迹将这些伽罗瓦伪表示与Hecke特征值联系起来，将模形式提升理论推广到了Hilbert模情形下的扭转化同调。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real number field and let $p$ be a prime unramified in $F$. We prove the existence of Galois pseudo-representations attached to mod $p^m$ Hecke eigenclasses of paritious weight occurring in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties for $F$ of level prime to $p$.

研究动机与目标

• 建立与Hilbert模Shimura簇的层上同调中模 $ p^m $ Hecke特征类相关的伽罗瓦伪表示的存在性。
• 将模形式提升技术推广到全实域上Hilbert模形式的扭转化同调类中。
• 将Calegari与Geraghty在模形式提升定理方面的工作推广到具有偶权重的Hilbert模簇的层上同调。
• 为通过权重转移与解析方法，在层上同调中为扭转化类（特别是非正则权重）构造伽罗瓦型表示提供一个框架。
• 在缺乏经典模形式的情况下解决存在性问题，重点研究Hilbert模簇的Toroidal紧化空间的层上同调。

提出的方法

• 利用Hilbert模Shimura簇的Toroidal紧化空间来研究带有边界除子 $ D $ 的层上同调。
• 研究 $ \operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}} $ 上的Hodge丛 $ \omega $ 和自守线丛 $ \omega^\kappa(-D) $，其中 $ \kappa $ 为偶权重。
• 应用权重转移算子 $ b_\tau $ 和部分Hasse不变量 $ h_\tau $ 来构造复形的提升与解析。
• 通过可接受的双重复形与拟同构，构造出复形的有利解析，以建模伽罗瓦型的Hecke模。
• 利用 $ R_m $-模复形之间的拟同构，通过 $ p $-进伽罗瓦表示的整模型约化来实现伪表示。
• 将问题约化为通过Carayol、Taylor以及Blasius-Rogawski理论，对特征零Hilbert模形式所关联的 $ p $-进伽罗瓦表示的半单化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为全实域 $ F $ 的Hilbert模簇的层上同调中模 $ p^m $ Hecke特征类构造伽罗瓦伪表示？
• RQ2 这些伪表示是否满足预期的弗罗贝尼乌斯特征值条件 $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $？
• RQ3 权重转移与复形解析的方法能否用于在扭转化同调中构造伽罗瓦型Hecke模？
• RQ4 此类伽罗瓦表示的存在性是否与Hilbert模情形下已知的 $ p $-进模形式提升定理相容？
• RQ5 该构造能否推广至包含非正则权重与非正则同调类的情形？

主要发现

• 对任意偶权重 $ \kappa $，对每个Hecke特征类 $ c \in H^i(\operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}}, \omega^\kappa(-D)) $，存在连续的 $ R_m $-线性二维伪表示 $ \tau_c $，其定义在 $ G_{F,S} $ 上。
• 对所有不在 $ S $ 中的 $ F $ 的有限素点 $ \mathfrak{q} $，该伪表示满足 $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $，其中 $ a_\mathfrak{q}(c) $ 是 $ T_\mathfrak{q} $ 在 $ c $ 上的Hecke特征值。
• 该构造依赖于提升算子 $ b_\tau $ 和 $ h_\tau $，并利用复形的拟同构来建模上同调与Hecke作用。
• 该伪表示是特征零Hilbert模形式所关联的 $ p $-进伽罗瓦表示的整模型模 $ \varpi_E^m $ 的约化。
• 该方法适用于正则与非正则权重，包括扭转化类，通过在带有边界除子 $ D $ 的层上同调中工作来实现。
• 该结果解决了Calegari与Geraghty在Hilbert模情形下所猜想的模 $ p^m $ Hilbert模特征类的伽罗瓦表示存在性问题。