[论文解读] Galois representations attached to elliptic curves with complex multiplication

Álvaro Lozano‐Robledo|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 22

一句话总结

本文在 GL(2, Zp) 中的共轭意义下，对定义在 Q(j(E)) 上具有复乘法（CM）的椭圆曲线所附着的 p 进伽罗瓦表示进行了完整的显式分类。利用类域论与复乘法理论，本文将伽罗瓦表示 ρE,p∞ 的像识别为 Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp) 的子群，其中 δ 和 φ 由 CM 域 K 的判别式 ΔK 与导子 f 精确定义。关键结果是对像结构的完整刻画，包括其在 Nδ,φ(p∞) 中的指标、挠特征标的行为，以及对所有素数 p 和 CM j-不变量的 2-进与 p-进像的显式确定。

ABSTRACT

The goal of this article is to give an explicit classification of the possible $p$-adic Galois representations that are attached to elliptic curves $E$ with CM defined over $\mathbb{Q}(j(E))$. More precisely, let $K$ be an imaginary quadratic field, and let $\mathcal{O}_{K,f}$ be an order in $K$ of conductor $f\geq 1$. Let $E$ be an elliptic curve with CM by $\mathcal{O}_{K,f}$, such that $E$ is defined by a model over $\mathbb{Q}(j(E))$. Let $p\geq 2$ be a prime, let $G_{\mathbb{Q}(j(E))}$ be the absolute Galois group of $\mathbb{Q}(j(E))$, and let $ ho_{E,p^\infty}\colon G_{\mathbb{Q}(j(E))} o \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ be the Galois representation associated to the Galois action on the Tate module $T_p(E)$. The goal is then to describe, explicitly, the groups of $\operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ that can occur as images of $ ho_{E,p^\infty}$, up to conjugation, for an arbitrary order $\mathcal{O}_{K,f}$.

研究动机与目标

• 在 GL(2, Zp) 中的共轭意义下，提供椭圆曲线 E 在 Q(j(E)) 上具有复乘法时，其 p-进伽罗瓦表示 ρE,p∞ 的像的完整显式分类。
• 精确刻画 ρE,p∞ 的像作为 Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp) 的子群的结构，其中参数由 CM 域 K 与导子 f 决定。
• 确定该像在 Nδ,φ(p∞) 中的指标，证明其整除 4 或 6，并刻画其恰好为 2 或 4 的情形。
• 显式确定 j-不变量为 0 和 1728 时的 2-进像，并对定义在 Q 上的所有 CM 椭圆曲线的可能 2-进像进行分类。
• 证明当 p 为奇素数时，ρE,p∞ 是其模 p 约化在 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) 下的完全原像，并分析挠特征标。

提出的方法

• 利用类域论与复乘法理论，分析 E[N] 上的伽罗瓦作用，将 ρE,N 的像识别为 Nδ,φ(N) ⊆ GL(2, Z/NZ) 的子群。
• 将群 Nδ,φ(N) 定义为由矩阵 −1 与 φ 构造的 Cartan 子群 Cδ,φ(N) 的扩张，其中 δ 与 φ 由判别式 ΔK 与导子 f 决定。
• 应用 Serre-Tate 理论与相容基系，将模 N 的像上移至 p-进层次，构造出 ρE,p∞ 作为相容表示系。
• 利用复共轭作用与单位群 O×K,f 的结构，确定 ρE,p∞ 的像在 Nδ,φ(p∞) 中的指标，并对可能的像进行分类。
• 对 (OK,f / NOK,f)× 的子群进行详尽的群论分析，特别针对 p = 2 与 j = 0 的情形，以对所有可能的 2-进像进行分类。
• 利用椭圆曲线的显式模型（如 y² = x³ + s）与分裂多项式，计算复共轭在 E[4] 上的作用，确定 γ = ρE,2∞(c) 模 4 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 GL(2, Zp) 中的共轭意义下，对于定义在 Q(j(E)) 上、由 OK,f 作用的复乘法椭圆曲线 E，其 p-进伽罗瓦表示 ρE,p∞ 的可能像有哪些？
• RQ2 ρE,p∞ 的像如何与群 Nδ,φ(p∞) 相关联？其在 Nδ,φ(p∞) 中的指标是多少？
• RQ3 对于哪些素数 p 与 j-不变量，挠特征标 χE,p∞ 是从 Z×p 上的满射？其像的指标为 2 的条件是什么？
• RQ4 定义在 Q 上的 CM 椭圆曲线的可能 2-进像有哪些？其如何依赖于 j-不变量与复共轭？
• RQ5 ρE,p∞ 的像与其模 p 约化之间有何关系？在何种条件下，ρE,p∞ 是其模 p 像在 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) 下的完全原像？

主要发现

• ρE,p∞ 的像包含于 Nδ,φ(p∞)，其在 Nδ,φ(p∞) 中的指标整除 4 或 6，且当 j(E) = 1728 时，指标为 2 或 4。
• 当 p > 2 且 jK,f ≠ 0，或 p > 3 时，p-进表示 ρE,p∞ 是其模 p 约化在 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) 下的完全原像。
• 对于除有限多个 p 外的所有 p，挠特征标 χE,p∞ 是从 Z×p 上的满射；其像的指标为 2 当且仅当 p ≡ 1 mod 4 且 Q(√p) ⊆ Q(jK,f)。
• 当 j(E) = 0 时，恰好存在两种可能的 2-进像：一种指标为 1（即完整的 N−1,1(2∞)），另一种指标为 3（C−1,1(2∞) 中唯一的立方子群），且两者均可实现。
• 当 j(E) = 1728 时，2-进像在 Nδ,φ(2∞) 中的指标为 2 或 4，且在 Q 上对全部 28 种可能的 2-进像完成了完整分类。
• 2-进像由 Gal(K(jK,f, E[2n])/K(jK,f, h(E[2n]))) 在单位群 O×K,f 中的指标决定，该指标在不同情形下为 1、3 或 4。