[论文解读] Galois representations attached to Q-curves and the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p

Jordan S. Ellenberg|ArXiv.org|Nov 27, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文证明了当 $p \geq 211$ 时，广义费马方程 $A^4 + B^2 = C^p$ 没有非平凡的互素整数解。通过利用对虚二次域上 $\mathbb{Q}$-曲线附着的模 $p$ Galois 表示的满射性结果，并借助对平均 $L$-函数特殊值的解析估计，结合坏约化条件的矛盾，排除了解的存在性。

ABSTRACT

We show that the mod p Galois representations attached to a Q-curve E of degree d over an imaginary quadratic number field K are surjective for all p larger than some constant M_{K,d}, if E has potentially multiplicative reduction at any prime not dividing 6. The proof uses Mazur's formal immersion method, a result of Darmon and Merel on non-split modular curves, and an analytic argument showing that Jacobians of certain twisted modular curves admit quotients with Mordell-Weil rank 0. In combination with a previous theorem of the author and Skinner on modularity of Q-curves, the surjectivity result allows one to show that the generalized Fermat equation A^4 + B^2 = C^p has no nontrivial primitive solutions for p >= 211.

研究动机与目标

• 建立虚二次域上 $\mathbb{Q}$-曲线模 $p$ Galois 表示的满射定理，推广模椭圆曲线的技术。
• 证明广义费马方程 $A^4 + B^2 = C^p$ 在 $p \geq 211$ 时无本原非平凡解。
• 弥合 $\mathbb{Q}$-曲线算术与费马最后定理证明中使用的模形式方法之间的鸿沟。
• 给出一个有效界 $M_{K,d}$，使得对所有满足 $p > M_{K,d}$ 的素数 $p$，$\mathbb{Q}$-曲线上的模 $p$ Galois 表示是满射的，或该曲线在所有不整除 $6$ 的素数上具有潜在良好约化。
• 表明当 $p < 211$ 时的剩余情形可通过有限计算解决，前提是存在某些具有非零 $L$-值的模形式。

提出的方法

• 将 Mazur、Momose、Darmon 和 Merel 的几何技术适配用于研究虚二次域上的 $\mathbb{Q}$-曲线。
• 应用先前与 C. Skinner 合作建立的 $\mathbb{Q}$-曲线模性定理，将 $A^4 + B^2 = C^p$ 的解与 Galois 表示联系起来。
• 利用对 $L$-函数平均特殊值的解析估计（来自 [14]），证明新形式空间中某些内积的非零性。
• 使用 Fricke 对合以及扭模曲线 $X_0^s(m;p)$ 和 $X_0^{ns}(m;p)$ 分析 Galois 表示的结构。
• 分析射影模 $p$ Galois 表示 $\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ 的像，证明当 $p \geq 211$ 时，其位于 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ 中非分裂 Cartan 子群的正规化子内。
• 将此像分析与反证法结合：若像位于非分裂 Cartan 子群的正规化子内，则 $E$ 必须在所有素数上具有潜在良好约化，这与在 $p$ 上方的已知坏约化矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 $p$，方程 $A^4 + B^2 = C^p$ 没有非平凡的互素整数解？
• RQ2 在何种条件下，虚二次域 $K$ 上 $\mathbb{Q}$-曲线的模 $p$ Galois 表示是满射的？
• RQ3 能否利用水平为 $p^2$ 或 $2p^2$ 的新形式相关 $L$-函数的解析行为，排除广义费马方程的解？
• RQ4 使得 $\mathbb{Q}$-曲线在 $K$ 上度为 $d$ 的模 $p$ Galois 表示保证为满射的最小 $p$ 是多少？
• RQ5 当 $17 \leq p < 211$ 时，剩余情形是否可通过验证特定模形式具有非零 $L$-值来解决？

主要发现

• 当 $p \geq 211$ 时，方程 $A^4 + B^2 = C^p$ 没有非平凡的互素整数解。
• 对所有满足 $p > M_{K,d}$ 的素数 $p$，$\mathbb{Q}$-曲线 $E/K$ 上的模 $p$ Galois 表示 $\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ 是满射的，除非 $E$ 在所有不整除 $6$ 的素数上具有潜在良好约化。
• $M_{K,d}$ 依赖于 $K$ 和 $d$，但与 $E$ 的选择无关，且是有效界。
• 当 $p \geq 211$ 时，$\mathbb{P}\bar{\rho}_{E,p}$ 的像位于 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ 中非分裂 Cartan 子群的正规化子内，这与在 $p$ 处的坏约化产生矛盾。
• 若水平为 $p^2$ 的新形式 $f$ 满足 $w_p f = f$，则 $L(f \otimes \chi, 1)$ 的非零性意味着此类 $p$ 无解。
• 当 $p > 13$ 时，若存在 $S_2(\Gamma_0(2p^2))$ 中的新形式 $f$ 满足 $w_p f = f$ 且 $w_2 f = -f$，则同样意味着无非平凡解。