[论文解读] Galois Representations with Quaternion Multiplications Associated to Noncongruence Modular Forms

A. O. L. Atkin, Wen-Ching Winnie Li+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了与在 $\mathbb{Q}$ 的双二次扩张上具有四元数乘法的权 $\kappa > 2$ 的非同余尖形式相关的四维 $\rho_\ell$ 伽罗瓦表示的自守性。利用现代模形式理论，包括塞尔猜想和塔特定理，证明了这些表示源自 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的自守形式，并验证了连接非同余与同余模形式系数的阿特金-斯温纳顿-戴尔同余式。

ABSTRACT

In this paper we study the compatible family of degree-4 Scholl representations $ρ_{\ell}$ associated with a space $S$ of weight $κ> 2$ noncongruence cusp forms satisfying Quaternion Multiplications over a biquadratic field $K$. It is shown that when either $K$ is totally real or $κ$ is odd, $ρ_\ell$ is automorphic, that is, its associated L-function has the same Euler factors as the L-function of an automorphic form for $GL_4(\mathbb Q)$. Further, it yields a relation between the Fourier coefficients of noncongruence cusp forms in $S$ and those of certain automorphic forms via the three-term Atkin and Swinnerton-Dyer congruences.

研究动机与目标

• 建立与在 $\mathbb{Q}$ 的双二次扩张上具有四元数乘法（QM）的非同余尖形式相关的四维施霍尔表示的自守性。
• 证明这些表示通过张量积构造和模形式提升技术，源自 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的自守形式。
• 验证非同余尖形式与相关同余模形式的傅里叶系数之间的三项阿特金-斯温纳顿-戴尔同余式。
• 构造此类自守提升的显式例子，包括在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 上具有 QM 的新情形。
• 提供一个具体的赫克特征形式 $f$，属于 $S_3(\Gamma_0(576), (-6/\cdot))$，其系数通过 $\rho_\ell^\text{new} \cong \eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$ 反映伽罗瓦表示的结构。

提出的方法

• 利用最近在 $\mathbb{Q}$ 上证明的塞尔猜想，确立由几何产生的二维 $\ell$-进表示的模性。
• 利用塔特定理 $H^2(G, \mathbb{C}^\times) = 0$，将具有有限像的射影表示 $\tilde{\gamma}$ 提升为 $G$ 的普通表示 $\gamma$。
• 将完整的四维表示 $\rho_\ell$ 构造为张量积 $\eta \otimes \gamma$，其中 $\eta$ 是模形式，$\gamma$ 是从双二次域 $K$ 的二次子域上的有限特征诱导而来。
• 应用拉马克里斯南的结果，表明该张量积对应于 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的一个自守表示。
• 在具有四元数乘法的表示背景下，将法尔廷斯-塞尔模形式技术推广并加以调整，以绕过非同余形式上无效的赫克算子。
• 使用显式的赫克算子和 $\Gamma^1(6)$ 的正规化子，定义四元数乘法算子 $J_{-2}, J_{-3}$，它们在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$ 上作用，并生成四元数代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在双二次域上具有四元数乘法的四维施霍尔表示是自守的？
• RQ2 在具有四元数乘法的非同余尖形式空间中，阿特金-斯温纳顿-戴尔同余式是否成立？
• RQ3 能否将此类非同余形式相关的伽罗瓦表示实现为两个二维模形式表示的张量积？
• RQ4 是否存在一个具体的赫克特征形式，位于同余空间中，以实现施霍尔表示的自守提升？
• RQ5 四元数乘法算子 $J_{-2}, J_{-3}$ 的结构如何与伽罗瓦表示及其分解相关联？

主要发现

• 与权为 3 的非同余尖形式空间 $\langle F_1, F_5 \rangle$ 相关的四维施霍尔表示 $\rho_\ell^\text{new}$ 是自守的，对应于 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上的一个自守表示。
• 表示 $\rho_\ell^\text{new}$ 同构于 $\eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$，其中 $\eta$ 来自一个同余子群上的权 3 新形式。
• 在空间 $\langle F_1, F_5 \rangle$ 上，阿特金-斯温纳顿-戴尔同余式已通过数值方法验证，弗罗贝尼乌斯的特征多项式在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 等上分解为二次式。
• 显式构造了一个赫克特征形式 $f(z)$ 属于 $S_3(\Gamma_0(576), (-6/\cdot))$，其为包含 $i = \sqrt{-1}, j = \sqrt{2}, k = \sqrt{3}$ 的埃塔积的线性组合，其傅里叶系数与伽罗瓦表示的系数一致。
• 在 $\mathbb{Q}_\ell \otimes \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 上的表示空间上，四元数乘法作用于 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$，确认了自同态代数的代数结构。
• 对于素数 $p = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$，$\mathrm{Frob}_p$ 的特征多项式在 $\mathbb{Q}(\sqrt{-6}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 等系数域上分解为二次式，支持张量积结构和阿特金-斯温纳顿-戴尔同余式。