[论文解读] Galois self-dual cuspidal types and Asai local factors

U. K. Anandavardhanan, Robert Kurinczuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用 10

一句话总结

本文为 $\ceil$-自对偶的 cuspidal 表示 $\pi$ 的 Asai L-函数建立了显式的积分表示，证明其可通过一个显式测试向量表示为单一 Asai 积分。此外，当 $\pi$ 是 $\ceil_n(\ceil_o)$-分明时，计算得 Asai 根数为 1，并证明局部 Asai $\varepsilon$-因子与 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-因子之间相差显式涉及中心特征标和局部常数的因子。

ABSTRACT

Let $F/F_{\mathsf{o}}$ be a quadratic extension of non-archimedean locally compact fields of odd residual characteristic and $σ$ be its non-trivial automorphism. We show that any $σ$-self-dual cuspidal representation of ${ m GL}_n(F)$ contains a $σ$-self-dual Bushnell--Kutzko type. Using such a type, we construct an explicit test vector for Flicker's local Asai $L$-function of a ${ m GL}_n(F_{\mathsf{o}})$-distinguished cuspidal representation and compute the associated Asai root number. Finally, by using global methods, we compare this root number to Langlands--Shahidi's local Asai root number, and more generally we compare the corresponding epsilon factors for any cuspidal representation.

研究动机与目标

• 为 Flicker 的局部 Asai L-函数构造一个显式测试向量，适用于 $\rceil$-自对偶的 cuspidal 表示。
• 计算此类表示的 Asai 根数，特别是当它们是 $\rceil_n(\rceil_o)$-分明时。
• 比较 cuspidal 表示下 Flicker 的 Asai $\varepsilon$-因子与 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-因子。
• 证明一个分明 cuspidal 表示的 Asai L-函数可通过一个具有典范测试向量的单一 Asai 积分实现。

提出的方法

• 使用 Bushnell–Kutzko 类型理论，为 $\rceil$-自对偶的 cuspidal 表示 $\rceil_n(\rceil)$ 构造一个 $\rceil$-自对偶的类型。
• 在 $\pi$ 的 Whittaker 模型中构造一个显式的 Whittaker 函数 ${\rceil}_0$，使得与 $Ο_o^n$ 的特征函数的 Asai 积分即为 Asai L-函数。
• 应用整体方法，比较 Flicker 的 Asai $\varepsilon$-因子与 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-因子。
• 通过诱导表示理论与互联系算子的对偶性论证，将 Asai 因子与 Langlands–Shahidi 因子联系起来。
• 利用类型理论与抛物诱导的结构，分析 ${\rceil}^\sigma$-不变线性泛函的空间。
• 验证局部 Asai 因子与 Asai L-函数的函数方程相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $\rceil$-自对偶的 $\rceil_n(\rceil)$ 表示是否都具有 $\rceil$-自对偶的 Bushnell–Kutzko 类型？
• RQ2 能否通过一个显式测试向量，将 $\rceil$-自对偶 cuspidal 表示的 Asai L-函数表示为单一 Asai 积分？
• RQ3 当表示是 $\rceil_n(\rceil_o)$-分明时，Asai 根数的值是多少？
• RQ4 对于 cuspidal 表示，Flicker 的 Asai $\varepsilon$-因子与 Langlands–Shahidi $\varepsilon$-因子之间有何关系？
• RQ5 一个分明 cuspidal 表示的 Asai L-函数是否与非退化特征标的选取无关？

主要发现

• 一个 $\rceil$-自对偶 cuspidal 表示 $\pi$ 的 Asai L-函数可表示为单一 Asai 积分：$\operatorname{I}_{\rm As}(s,\Phi_0,{\rceil}_0)={\rceil}_{{\rm As}}(s,\pi)$，其中 $\Phi_0$ 是 $\u039f_o^n$ 的特征函数。
• 对于 $\rceil_n(\rceil_o)$-分明的 cuspidal 表示，Asai 根数满足 $\epsilon_{{\rm As}}(1/2,\pi,\psi_o,\delta)=1$，证实了一个猜想。
• Flicker 的 Asai $\varepsilon$-因子与 Langlands–Shahidi 因子的关系为：$\epsilon_{{\rm As}}(s,\pi,\psi_o,\delta)=\omega_\pi(\delta)^{n-1}\cdot|\delta|^{\frac{n(n-1)}{2}(s-1/2)}\cdot\lambda({\rceil}/{\rceil_o},\psi_o)^{-\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\epsilon_{{\rm As}}^{{\rm LS}}(s,\pi,\psi_o)$。
• ${\rceil}^\sigma$-不变线性泛函空间在 cuspidal 表示上维数为 1，且当表示分明时，与 ${\rceil}_n(\rceil_o)$-不变泛函空间重合。
• Asai L-函数非平凡，当且仅当表示具有分明的无瑕扭。
• 测试向量 ${\rceil}_0$ 的构造是典范的，且与非退化特征标 $\psi$ 的选取无关。