[论文解读] Galois Theory for Braided Tensor Categories and the Modular Closure

Michael Mueger|ArXiv.org|Dec 7, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文为具有对偶和不可约单位的辫子张量*-范畴构建了一个伽罗瓦理论框架，引入了交叉积构造 C ⋊ S，通过一个对称子范畴 S 扩展该范畴。关键结果是：一个有理辫子范畴 C 的模封闭（定义为 C ⋊ D，其中 D 是退化对象的子范畴）构成一个模范畴，从而给出 SL(2,Z) 的酉表示，并在中间范畴与伽罗瓦群的闭子群之间建立伽罗瓦对应关系。

ABSTRACT

Given a braided tensor *-category C with conjugate (dual) objects and irreducible unit together with a full symmetric subcategory S we define a crossed product C times S. This construction yields a tensor *-category with conjugates and an irreducible unit. (A *-category is a category enriched over Vect_C with positive *-operation.) A Galois correspondence is established between intermediate categories sitting between C and C times S and closed subgroups of the Galois group Gal(C times S/C)=Aut_C(C times S) of C, the latter being isomorphic to the compact group associated to S by the duality theorem of Doplicher and Roberts. Denoting by D\subset C the full subcategory of degenerate objects, i.e. objects which have trivial monodromy with all objects of C, the braiding of C extends to a braiding of C times S iff S\subset D. Under this condition C times S has no degenerate objects iff S=D. If the original category C is rational (i.e. has only finitely many equivalence classes of irreducible objects) then the same holds for the new one. The category C times D is called the modular closure of C since in the rational case it is modular, i.e. gives rise to a unitary representation of the modular group SL(2,Z). (In passing we prove that every braided tensor *-category with conjugates automatically is a ribbon category, i.e. has a twist.) If all simple objects of S have dimension one the structure of the category C times S can be clarified quite explicitly in terms of group cohomology.

研究动机与目标

• 将伽罗瓦理论从域推广到具有对偶和不可约单位的辫子张量*-范畴。
• 定义交叉积构造 C ⋊ S，以推广张量范畴中的群作用。
• 在中间范畴与伽罗瓦群 Aut_C(C ⋊ S) 的闭子群之间建立伽罗瓦对应关系。
• 刻画编织结构扩展到交叉积的条件，证明其可扩展当且仅当 S ⊆ D（退化对象的子范畴）。
• 定义并分析有理辫子范畴的模封闭为 C ⋊ D，证明其为模范畴。

提出的方法

• 为一个辫子张量*-范畴 C 和一个全对称子范畴 S 定义交叉积范畴 C ⋊ S。
• 利用 Doplicher 和 Roberts 的对偶定理，将伽罗瓦群 Gal(C ⋊ S / C) 识别为与 S 关联的紧致群。
• 在中间范畴 C ⊆ K ⊆ C ⋊ S 与伽罗瓦群的闭子群之间建立伽罗瓦对应关系。
• 将 C 中的退化对象刻画为与所有对象具有平凡单值性的对象；记该子范畴为 D。
• 证明 C 上的编织结构可扩展到 C ⋊ S 当且仅当 S ⊆ D。
• 证明 C ⋊ D 无退化对象当且仅当 S = D，且当 C 为有理范畴时，C ⋊ D 为模范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽罗瓦理论如何推广到具有对偶的辫子张量*-范畴的设定中？
• RQ2 在什么条件下，范畴上的编织结构可扩展到交叉积范畴 C ⋊ S？
• RQ3 伽罗瓦群 Gal(C ⋊ S / C) 的结构是什么？它与范畴 S 的关系如何？
• RQ4 何时交叉积 C ⋊ S 为模范畴，特别是在有理情形下？
• RQ5 退化对象子范畴 D 在构造模封闭中的作用是什么？

主要发现

• 若 C 具有这些性质且 S 为全对称子范畴，则交叉积 C ⋊ S 是一个具有共轭和不可约单位的张量*-范畴。
• 在中间范畴 K 满足 C ⊆ K ⊆ C ⋊ S 与伽罗瓦群 Gal(C ⋊ S / C) 的闭子群之间存在伽罗瓦对应关系，该群通过 Doplicher-Roberts 对偶性同构于与 S 关联的紧致群。
• C 上的编织结构可扩展到 C ⋊ S 当且仅当 S ⊆ D，其中 D 是退化对象（与 C 的所有对象具有平凡单值性）的全子范畴。
• C ⋊ D 无退化对象当且仅当 S = D，且在此情况下，当 C 为有理范畴时，C ⋊ D 为模范畴。
• 当 C 为有理范畴时，模封闭 C ⋊ D 为模范畴，并给出 SL(2,Z) 的酉表示。
• 每个具有共轭的辫子张量*-范畴自动为结带范畴，即其携带一个扭（具有恒等对象自同态的刚性结构）。