[论文解读] Galois theory for Hopf algebroids

Gabriella Böhm|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文通过将经典霍普夫代数的伽罗瓦对应推广到霍普夫胚丛的框架，建立了霍普夫胚丛的伽罗瓦理论。证明了对于有限生成投影的霍普夫胚丛且反演映射为双射的情形，若典范映射是满射，则其具有伽罗瓦性质；并表明在反演映射为双射时，左伽罗瓦条件与右伽罗瓦条件一致，从而将克雷默-竹内与道伊的结果推广至非交换基代数的情形。

ABSTRACT

An extension B\subset A of algebras over a commutative ring k is an H-extension for an L-bialgebroid H if A is an H-comodule algebra and B is the subalgebra of its coinvariants. It is H-Galois if the canonical map A\otimes_B A o A\otimes_L H is an isomorphism or, equivalently, if the canonical coring (A\otimes_L H:A) is a Galois coring. In the case of a Hopf algebroid H=(H_L,H_R,S) any H_R-extension is shown to be also an H_L-extension. If the antipode is bijective then also the notions of H_R-Galois extensions and of H_L-Galois extensions are proven to coincide. Results about bijective entwining structures are extended to entwining structures over non-commutative algebras in order to prove a Kreimer-Takeuchi type theorem for a finitely generated projective Hopf algebroid H with bijective antipode. It states that any H-Galois extension B\subset A is projective, and if A is k-flat then already the surjectivity of the canonical map implies the Galois property. The Morita theory, developed for corings by Caenepeel, Vercruysse and Wang, is applied to obtain equivalent criteria for the Galois property of Hopf algebroid extensions. This leads to Hopf algebroid analogues of results for Hopf algebra extensions by Doi and, in the case of Frobenius Hopf algebroids, by Cohen, Fishman and Montgomery.

研究动机与目标

• 将伽罗瓦理论从霍普夫代数推广至霍普夫胚丛，尤其关注非交换基代数的情形。
• 通过证明在有限生成投影且反演映射为双射的条件下，典范映射的满射性蕴含双射性与投影性，将克雷默-竹内定理推广至霍普夫胚丛。
• 通过典范余环与纠缠结构，统一并推广霍普夫胚丛设定下的莫里塔理论准则，用于伽罗瓦扩张。
• 在反演映射为双射时，建立左伽罗瓦扩张与右伽罗瓦扩张之间的等价性，从而解决霍普夫胚丛理论中的一个关键对称性问题。

提出的方法

• 将霍普夫胚丛上的余模代数定义为在左与右双胚丛分量上具有相容余模结构的代数，其余作用彼此共线性。
• 引入典范余环 $ A igotimes_L H $，并利用其伽罗瓦性质来刻画 $H$-伽罗瓦扩张。
• 应用余环的莫里塔理论，推导伽罗瓦性质的等价准则，将道伊与科亨-菲什曼-蒙特戈梅里的结果推广至霍普夫胚丛设定。
• 利用非交换代数上的纠缠结构，推广关于双射纠缠映射的论证，从而实现克雷默-竹内定理的推广。
• 证明对于弗罗贝尼乌斯霍普夫胚丛 $H$，若存在非退化的左积分，则可构造一个与标准莫里塔上下文等价的莫里塔上下文，从而导出典范映射的满射性准则。
• 利用 $H$ 与其 $ A $-对偶 ${}^*H$ 之间的对偶性，将伽罗瓦性质与 smash 乘积代数 ${}^*H times A$ 的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，霍普夫胚丛扩张 $ B o A $ 的典范映射 $ A igotimes_B A o A igotimes_L H $ 的满射性蕴含其双射性？
• RQ2 对于霍普夫胚丛 $H$ 上的余模代数 $ A $，$H_L$-伽罗瓦条件与 $H_R$-伽罗瓦条件在何时等价？
• RQ3 如何将余环的莫里塔理论适配以刻画霍普夫胚丛设定下的伽罗瓦扩张？
• RQ4 反演映射在确保霍普夫胚丛扩张中左伽罗瓦结构与右伽罗瓦结构对称性方面起何作用？
• RQ5 克雷默-竹内定理能否推广至具有非交换基代数的霍普夫胚丛？需要何种条件？

主要发现

• 对于有限生成投影的霍普夫胚丛 $ H $ 且其反演映射为双射的情形，典范映射 $ A igotimes_B A o A igotimes_L H $ 的满射性蕴含其双射性，且 $ A $ 作为 $ B $-模是投影的。
• 当 $ H $ 的反演映射为双射时，任意 $ H $-余模代数 $ A $ 的 $ H_L $-余不变量与 $ H_R $-余不变量一致，从而确保左右结构之间的对称性。
• 典范余环 $ (A igotimes_L H : A) $ 是伽罗瓦的，当且仅当扩张 $ B o A $ 是 $ H $-伽罗瓦的，从而推广了余环理论对伽罗瓦扩张的刻画。
• 对于弗罗贝尼乌斯霍普夫胚丛 $ H $，扩张 $ B o A $ 是 $ H $-伽罗瓦的，当且仅当对任意非退化的左积分 $ {}^* ho $，映射 $ a igotimes_B a' o ( ho_R times a)({}^* ho times 1)( ho_R times a') $ 是满射的。
• 与 $ A $ 的右 $ H_R $-余模结构相关的莫里塔上下文，与与 smash 乘积 $ {}^*H times A $ 相关的莫里塔上下文等价，从而扩展了科亨-菲什曼-蒙特戈梅里的框架。
• 若 $ k $-代数 $ {}^*H times A $ 是单的，则扩张 $ B o A $ 是 $ H $-伽罗瓦的，从而将有限维霍普夫代数中的一个结果推广至霍普夫胚丛设定。