[论文解读] Galois theory, motives and transcendental numbers

Yves André|ArXiv.org|May 16, 2008

History and Theory of Mathematics参考文献 4被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于格罗滕迪克动机理论的猜想性伽罗瓦理论框架，用于研究超越数，表明诸如 π 和椭圆积分这样的周期具有类似于代数数的明确定义的共轭元和伽罗瓦群。研究表明，对于 π，其伽罗瓦群为 ℚ×；对于椭圆周期，在一般情况下为 GL₂(ℚ)，在复乘（CM）情况下为卡坦子群的正规化子；动机伽罗瓦群控制着多重 zeta 值之间的代数关系。

ABSTRACT

From its early beginnings up to nowadays, algebraic number theory has evolved in symbiosis with Galois theory: indeed, one could hold that it consists in the very study of the absolute Galois group of the field of rational numbers. Nothing like that can be said of transcendental number theory. Nevertheless, couldn't one associate conjugates and a Galois group to transcendental numbers such as $π$? Beyond, can't one envision an appropriate Galois theory in the field of transcendental number theory? In which role? The aim of this text is to indicate what Grothendieck's theory of motives has to say, at least conjecturally, on these questions.

研究动机与目标

• 探索是否可以将伽罗瓦理论框架从代数数推广至超越数，特别是周期数。
• 研究诸如 π 和椭圆曲线周期等超越数是否具有明确定义的共轭元和伽罗瓦群。
• 将格罗滕迪克的动机理论与超越数论联系起来，特别是通过动机伽罗瓦群。
• 考察动机伽罗瓦群在控制多重 zeta 值之间代数关系中的作用。
• 在动机伽罗瓦理论与代数簇族的微分伽罗瓦理论之间建立概念性桥梁。

提出的方法

• 提出超越数 α 的共轭元集合通过其周期的有理张量定义，例如 ℚ×·π 或 Lℚ\{0}（椭圆周期情形）。
• 将伽罗瓦闭包定义为由共轭元生成的环 ℚ[α]_gal，例如 π 情形为 ℚ[π]，椭圆曲线情形为 ℚ[ω₁,ω₂]。
• 将伽罗瓦群 G_α 定义为作用在共轭元上且传递的伽罗瓦闭包的自同构群。
• 对于 π，有 G_π = ℚ×；对于一般椭圆周期，G_α = GL₂(ℚ)；在 CM 情形下，G_α = N_K，即卡坦子群的正规化子。
• 利用格罗滕迪克周期猜想和动机伽罗瓦群，控制多重 zeta 值之间的代数关系。
• 将动机伽罗瓦群与族中 Gauss-Manin 联络的微分伽罗瓦群联系起来，证明 L_mot(s) ⊆ L(s) ⊆ L_dif(s)，且在一般情形下等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有意义地将伽罗瓦理论框架扩展至 π 和椭圆曲线周期等超越数？
• RQ2 对于 π 这类超越数，共轭元和伽罗瓦群的恰当定义是什么？
• RQ3 动机伽罗瓦群如何控制多重 zeta 值之间的代数关系？
• RQ4 动机伽罗瓦群与代数簇族中微分伽罗瓦群之间存在何种关系？
• RQ5 在何种情况下，动机伽罗瓦群在代数参数特化后与微分伽罗瓦群重合？

主要发现

• 对于 π，其伽罗瓦群为 ℚ×，在 ℚ×·π 上作用传递，不动域为 ℚ。
• 对于一般椭圆周期（非 CM 情形），其伽罗瓦群为 GL₂(ℚ)，在 Lℚ\{0} 上作用传递，不动域为 ℚ。
• 在 CM 情形下，伽罗瓦群为卡坦子群的正规化子 N_K，同构于 K×，且周期环是该群作用下的挠从（torsor）。
• 多重 zeta 值的动机伽罗瓦群被猜想为 ℚ× 对一个在奇数度数 >1 处具有自由李代数的拟幂零群的扩张。
• 多重 zeta 值在权重 s 下的 ℚ-向量空间 ℤ_s 的维数被 d_s 上界控制，其中 d_s 是 (1−x²−x³)^−1 中 x^s 的系数。
• 对于一般 s，动机伽罗瓦群等于微分伽罗瓦群，但在 CM 情形下，动机群严格小于微分群。