[论文解读] Galois theory of B_dR^+ in the imperfect residue field case

Shun Ohkubo|ArXiv.org|May 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文将 Iovita-Zaharescu 关于 $B_{\text{dR}}^+$ 的伽罗瓦理论推广至残基域不完全的局部域，利用 Colmez 的高阶凯勒微分的新结构定理。关键结果表明：$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$ 当且仅当满足某些上同调与微分条件——具体而言，高阶微分的 Tate 模为零，且典范导子满射——从而将经典的 Ax-Sen-Tate 定理推广至不完全残基域的情形。

ABSTRACT

We generalize a work of Iovita-Zaharescu on the Galois theory of B_dR^+ to the imperfect residue field case. The proof is based on a structure theorem of Colmez's higher Kahler differentials.

研究动机与目标

• 将 Iovita-Zaharescu 关于 $B_{\text{dR}}^+$ 的伽罗瓦理论结果推广至残基域不完全的局部域。
• 解决残基域不完全时 $B_{\text{dR}}^+$ 的伽罗瓦上同调中出现的技术难题。
• 在残基域不完全的情形下，建立 Colmez 的高阶凯勒微分的结构定理。
• 刻画代数扩张 $L/K$ 下，固定子环 $B_k^{G_L}$ 与 $p$-进完备化 $\widehat{L}_k$ 相等的条件。
• 以高阶导子与 Tate 模为工具，细化 $\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$ 的判定条件。

提出的方法

• 在残基域不完全的情形下，建立高阶凯勒微分 $\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$ 的结构定理，推广 Colmez 的结果。
• 使用多重指标记号与 $p$-进极限，分析典范导子 $d^{(k)}: \mathcal{O}_L^{(k-1)} \to \Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$ 的像。
• 应用 Tate 模构造 $T_p(\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})$，以检测微分中的 $p$-可除性。
• 利用正合列 $0 \to \varprojlim d^{(k)}(\mathcal{O}_L^{(k-1)}) \to \widehat{L}_k \to \widehat{L}_{k-1} \to \varprojlim^1 d^{(k)}(\mathcal{O}_L^{(k-1)}) \to 0$，将 $\widehat{L}_k$ 与微分的逆极限联系起来。
• 运用 Lubin-Tate 理论与例子，分析 $\mathcal{O}_L^{(1)}$ 中 $p$-进柯西序列的行为，及其在 $B_1$-拓扑下不收敛的性质。
• 应用 $p$-进巴拿赫空间的开映射定理，证明当 $\mathrm{Im}(d:\mathcal{O}_L \to \Omega^1_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})_{\mathrm{div}} = 0$ 时，投影 $\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$ 不是满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 当局部域 $K$ 的残基域不完全时，代数扩张 $L/K$ 下 $\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$ 在何种条件下成立？
• RQ2 在残基域不完全的情形下，高阶凯勒微分 $\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$ 如何表现？它们具有何种结构？
• RQ3 Tate 模 $T_p(\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})$ 在确定 $B_k^{G_L}$ 中伽罗瓦不变性方面起什么作用？
• RQ4 何时典范导子 $d^{(k)}: \mathcal{O}_L^{(k-1)} \to \Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$ 是满射？这如何影响伽罗瓦固定子环？
• RQ5 投影 $\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$ 不是满射，如何与某些 $p$-进序列非 $B_1$-柯西性相关联？

主要发现

• 当 $k=0$ 时，$\widehat{L} = \mathbb{C}_p^{G_L}$ 恒成立，将 Ax-Sen-Tate 定理推广至残基域不完全的情形。
• 当 $H^0(G_L, \mathbb{C}_p(1)) = 0$ 时，对所有 $k$ 有 $\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$ 且 $\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$，且所有这些对象同构于 $\widehat{L}$。
• 当 $H^0(G_L, \mathbb{C}_p(1)) \neq 0$ 时，$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$ 当且仅当对所有 $1 \leq n \leq k$，有 $T_p(\Omega^{(n)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}) \neq 0$ 且 $d^{(n)}$ 满射。
• 在相同微分条件下，$\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$ 成立当且仅当对所有 $k$ 有 $\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$。
• 当 $\mathrm{Im}(d:\mathcal{O}_L \to \Omega^1_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})_{\mathrm{div}} = 0$ 时，投影 $\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$ 是单射但非满射，原因在于存在非 $B_1$-柯西的 $p$-进序列（如 $\{p^n \zeta_{p^n}\}$）。
• 当 $K = \mathbb{Q}_p$ 时，$K^{\mathrm{ab}}/K$ 在第 1 层为 de Rham 当且仅当 $K \neq \mathbb{Q}_p$，揭示了伽罗瓦理论行为的显著差异。