[论文解读] Galton-Watson processes in varying environment and accessibility percolation

Daniela Bertacchi, Pablo M. Rodríguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文通过基于矩的准则和生成函数分析，为随机环境中的分支过程（BPVE）及其基于选择的变体（BPWS）建立了生存与灭绝的充分条件。研究表明，生存取决于后代分布的一阶与二阶矩之间的相互作用，关键结果将这些矩与树上的可及性渗流及临界增长率下的相变行为联系起来。

ABSTRACT

This paper deals with branching processes in varying environment, namely, whose offspring distributions depend on the generations. We provide sufficient conditions for survival or extinction which rely only on the first and second moments of the offspring distributions. These results are then applied to branching processes in varying environment with selection where every particle has a real-valued label and labels can only increase along genealogical lineages; we obtain analogous conditions for survival or extinction. These last results can be interpreted in terms of accessibility percolation on Galton-Watson trees, which represents a relevant tool for modeling the evolution of biological populations.

研究动机与目标

• 推导仅依赖于后代分布一阶与二阶矩的分支过程在随机环境（BPVE）中几乎必然灭绝与生存的充分条件。
• 将上述结果扩展至具有选择的分支过程（BPWS），其中粒子适应度沿谱系递增，以建模具有适应度约束的生物进化。
• 将BPWS与Galton-Watson树上的可及性渗流联系起来，为具有适应度依赖生存的进化动力学提供概率框架。
• 在均值后代数以多项式方式增长时，识别BPWS中的相变行为，表明当指数大于1时生存，小于等于1时灭绝。
• 通过构造一个BPVE，发展一种随机控制技术，证明在涉及序列{ci}i≥0的矩条件下，BPWS在局部区域实现生存。

提出的方法

• 使用生成函数与不动点分析，通过非平凡不动点的存在性来刻画BPVE中的生存行为。
• 仅基于后代分布的一阶矩序列{mn}，推导出几乎必然灭绝的充分条件。
• 通过将粒子位置限制在区间[xn−1, xn)内，并采用独立的稀释概率pn，从BPWS构造一个随机受控的BPVE。
• 分析控制BPVE的矩：emn = pnmn 与 em(2)n − emn = p2n(m(2)n − mn)，将其与原过程的矩联系起来。
• 将定理2.5应用于控制BPVE，推断原BPWS在区间[¯x, y)内实现局部生存，当µ(¯x, y) > 0时。
• 引入序列{ci}i≥0以细化矩条件，使得即使在∑1/mi = ∞或二阶矩比值较大时，仍能获得生存结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种矩条件下，随机环境中的分支过程（BPVE）会几乎必然生存？
• RQ2 当仅知一阶与二阶矩时，如何表征BPVE中的生存与灭绝，特别是当一阶矩小于或等于1时？
• RQ3 在仅允许比其父代适应度更高的后代繁殖的具有选择的分支过程（BPWS）中，何种条件可确保生存？
• RQ4 均值后代数的增长率如何影响BPWS中的生存概率？是否存在临界指数处的相变？
• RQ5 是否存在一个BPVE，可随机控制BPWS，使得后者的生存可推出前者在给定适应度区间内的局部生存？

主要发现

• 仅基于一阶矩序列{mn}，推导出BPVE中几乎必然灭绝的充分条件，表明即使对所有n都有mn < 1，灭绝仍可能发生。
• 若经一阶矩乘积缩放后的二阶矩与一阶矩平方之比满足收敛条件（定理2.5），则BPVE中的生存可被保证。
• 对于BPWS，若存在序列{ci}i≥0，使得∑ci/mi < ∞，且二阶矩比值m(2)n/m2n相对于乘积∏i=0n−1 ci满足增长条件，则可确保生存。
• 当mn ∼nα时，论文在α = 1处识别出相变：当α < 1时灭绝，当α > 1时在矩条件(3.4)下实现生存。
• 显式例子表明，当∑1/mi < ∞时，几何分布、泊松分布与二项分布的后代分布均满足生存条件。
• 序列{ci}使得生存条件在∑1/mi = ∞时仍适用，并为二阶矩比值m(2)n/m2n提供更大的上界，从而将适用范围扩展至更广泛的模型。