[论文解读] Galvin's property at large cardinals and an application to partition calculus

Tom Benhamou, Shimon Garti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2022

Advanced Topology and Set Theory被引用 5

一句话总结

本文利用力迫和迭代技术，研究了在大基数（特别是超紧和可测基数）上，Galvin 性质的一致性。结果表明，存在一种一致性模型，使得一个超紧基数携带既非 Galvin 也属于 Galvin 的超滤子；并利用该结果，在弱基数算术假设下，获得新的 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 分划关系实例，尤其在决定性公理模型中成立。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we explore the possibility for a very large cardinal $κ$ to carry a $κ$-complete ultrafilter without Galvin's property. In this context, we prove the consistency of every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a non-Galvin one. Oppositely, it is also consistent that every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a $P$-point ultrafilter, hence to another one satisfying Galvin's property. Finally, we apply this property to obtain consistently new instances of the classical problem in partition calculus $λ ightarrow(λ,ω+1)^2$.

研究动机与目标

• 研究非常大的基数（如超紧或 $C^{(n)}$-可扩展基数）是否可以携带违反 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子。
• 确定每个基模型中 $\theta$-完备超滤子都能扩展为非 Galvin 超滤子这一陈述的一致性强度。
• 探讨相反情形：每个 $\theta$-完备超滤子是否都能扩展为 $P$-点超滤子，从而成为 Galvin 超滤子。
• 将这些力迫构造应用于分划演算，特别地，在不假设强基数算术的前提下，获得新的 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 实例。
• 分析在决定性公理模型（特别是 $V=L(\bbR)$ 和 $\bf{AD}$）中 Galvin 性质的作用，以推导出新的正向分划关系。

提出的方法

• 通过适当的力迫构造一个泛系，使得超紧基数 $\theta$ 携带一个违反 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子。
• 应用广义 Mathias 力迫的迭代，将任意 $\theta$-完备滤子扩展为满足 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子。
• 改编 Gitik 与 Shelah 的复杂迭代技术，以力迫方式使每个基模型中的 $\theta$-完备超滤子都扩展为 $P$-点超滤子。
• 构造一个二色映射 $c:[\theta]^2\to 2$，以在 Galvin 性质失败的特定假设下，证实行负向分划关系 $\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$。
• 借助决定性公理和 $\bf{L}(\bbR)$ 的结构，证明在 $\bf{AD}+V=L(\bbR)$ 下，某些奇异基数 $\theta$ 满足 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$。
• 利用俱乐部滤子和基数极限上的正规测度，验证主分划演算定理的前提假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一致性模型，使得超紧基数 $\theta$ 携带一个违反 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子？
• RQ2 每个超紧 $\theta$ 上的 $\theta$-完备超滤子是否都能扩展为 $P$-点超滤子（从而满足 Galvin 性质）？
• RQ3 当 $2^\theta \neq \theta^+$ 时，$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 的一致性强度为何？
• RQ4 在 $\bf{AD}$ 下，对于不可数共尾性的奇异 $\theta$，是否成立 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$？
• RQ5 为了力迫出 $\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$，Galvin 性质需要满足哪些条件？

主要发现

• 通过适当的力迫泛系，存在一致性模型使得超紧基数 $\theta$ 携带一个违反 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子。
• 同样存在一致性模型，使得每个超紧 $\theta$ 上的 $\theta$-完备超滤子都能扩展为 $P$-点超滤子，从而满足 Galvin 性质。
• 广义 Mathias 力迫的迭代确保了每个 $\theta$-完备滤子都能扩展为满足 Galvin 性质的 $\theta$-完备超滤子。
• 通过用 Galvin 性质的一个实例替代基数算术假设 $2^\theta < \theta^+$，获得了 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 的新实例。
• 在 $\bf{AD}+V=L(\bbR)$ 下，若 $\theta$ 是正则基数的极限且 $\theta = \text{cf}(\theta) > \theta$，则 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 成立。
• 特别地，$\theta = \beth_{\theta}$ 和 $\theta = \beth_{\theta+1}$ 在 $\bf{AD}$ 下与 $\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ 一致，即使 $2^\theta > \theta$。