[论文解读] Game pricing and double sequence of random variables

Yukio Hirashita|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的游戏定价模型，通过使用双随机变量序列来建模收益期望，以确定最优投资比例，从而在重复投资中最大化资本的长期增长率。其核心贡献在于提出了一种与Black-Scholes模型不同的定价公式，表明当预期增长率等于无风险利率时，可实现最优增长，而非当预期收益等于贴现行权价时。

ABSTRACT

In this paper, we study a game with positive or plus infinite expectation and determine the optimal proportion of investment for maximizing the limit expectation of growth rate per attempt. With this objective, we introduce a new pricing method in which the price is different from that obtained by the Black-Scholes formula for a European option.

研究动机与目标

• 确定在重复游戏设定下，使每次尝试的长期增长率期望达到最大化的最优投资比例。
• 开发一种独立于Black-Scholes公式的金融游戏或期权的新定价机制。
• 建立极限增长率期望收敛并被最大化的条件。
• 证明对数效用函数可自然地从重复投资动态中涌现，即使在未预先假设其存在的情况下。
• 提供一种基于增长率最大化而非期望值的圣彼得堡游戏和欧式期权的定价框架。

提出的方法

• 基于有界阶梯函数 f_N(x) 构造双随机变量序列 {X_{N,n}}，其收敛于收益函数 a(x)，从而实现收敛性分析。
• 将每次尝试的增长率定义为 (M_n / M_0)^{1/n}，并使用极限期望 E[X_{N,n}] 作为关键性能指标。
• 推导出在固定比例投资 t 下的长期增长率公式：G_u(t) = exp(∫_I log(a(x)t/u - t + 1) dF(x))。
• 利用条件 G_u(t_u) = r + 1（或连续复利下的 e^r）来确定具有无风险利率 r 的游戏的公平价格 u。
• 应用Jensen不等式与积分不等式，证明 G_u(t) 关于 t 严格递减且关于 u 连续，从而确保最优 t_u 的唯一性。
• 采用本质下确界 ξ 及积分 H = ∫ dF(x)/a(x) 和 H_ξ = ∫ dF(x)/(a(x) - ξ) 来刻画最优投资比例的存在性与边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定游戏价格 u，使每次尝试的极限增长率期望最大化的最优投资比例 t_u 是多少？
• RQ2 所提出的定价方法在确定金融期权公平价格时，与Black-Scholes公式有何不同？
• RQ3 在何种条件下，增长率的极限期望存在并收敛于有限值？
• RQ4 为何对数效用函数在重复投资游戏中会自然成为最优选择，即使未事先假设其存在？
• RQ5 当无风险利率为4%时，圣彼得堡游戏的公平价格是多少？

主要发现

• 对于无风险利率为4%的圣彼得堡游戏，最优价格为 u ≈ 5.1052，可实现最大增长率 1.04。
• 当无风险利率为4%时，圣彼得堡游戏的最优投资比例为 t_u ≈ 0.1658。
• 对于对数正态分布的游戏（S=100，σ=0.3，r=0.04），最优价格为 u ≈ 95.6132，实现增长率 e^0.04 ≈ 1.0408。
• Black-Scholes公式对欧式看跌期权给出更高的价格（u ≈ 21.2176），但导致更低的增长率（1.0096），而最优价格（u ≈ 17.8157）可实现更高的增长率（1.0833）。
• 在最优价格下，欧式看跌期权的最优投资比例为 t_u ≈ 0.5434，而在Black-Scholes价格下则为 t_u ≈ 0.2278。
• 本文证明，当 E = ∞ 或 E < ∞ 时，G_u(t) 在 u ∈ (0, E) 上关于 u 连续且严格递减，从而确保最优价格的存在性与唯一性。