[论文解读] Games and hereditary Baireness in hyperspaces and spaces of probability measures

Mikołaj Krupski|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文在可分度量空间 X 的超空间 K(X) 和概率测度空间 Pr(X) 中，建立了对遗传Baire性的博弈论刻画。通过改进的Choquet博弈，证明了 K(X) 是遗传Baire 当且仅当在 X 上的强Choquet博弈中玩家 II 拥有必胜策略，这进一步表明 Pr(X) 也是遗传Baire。关键贡献在于首次在ZFC系统中构造出一个 [0,1] 的非Gδ子集，其Radon概率测度空间为遗传Baire。

ABSTRACT

We establish that the existence of a winning strategy in certain topological games, closely related to a strong game of Choquet, played in a topological space $X$ and its hyperspace $K(X)$ of all nonempty compact subsets of $X$ equipped with the Vietoris topology, is equivalent for one of the players. For a separable metrizable space $X$, we identify a game-theoretic condition equivalent to $K(X)$ being hereditarily Baire. It implies quite easily a recent result of Gartside, Medini and Zdomskyy that characterizes hereditary Baire property of hyperspaces $K(X)$ over separable metrizable spaces $X$ via the Menger property of the remainder of a compactification of $X$. Subsequently, we use topological games to study hereditary Baire property in spaces of probability measures and in hyperspaces over filters on natural numbers. To this end, we introduce a notion of strong $P$-filter $\mathcal{F}$ and prove that it is equivalent to $K(\mathcal{F})$ being hereditarily Baire. We also show that if $X$ is separable metrizable and $K(X)$ is hereditarily Baire, then the space $P_r(X)$ of Borel probability Radon measures on $X$ is hereditarily Baire too. It follows that there exists (in ZFC) a separable metrizable space $X$ which is not completely metrizable with $P_r(X)$ hereditarily Baire. As far as we know this is the first example of this kind.

研究动机与目标

• 为可分度量空间 X 的 K(X) 是遗传Baire 的条件建立博弈论刻画。
• 通过拓扑博弈研究 Borel 概率Radon测度空间 Pr(X) 的遗传Baire性质。
• 引入并刻画 N 上的强P-滤子及其与 K(F) 的遗传Baire性之间的关系。
• 提供一个 ZFC 例子，即 [0,1] 的非完全度量、非Gδ 子空间，其Radon测度空间为遗传Baire。
• 探讨紧化余集的Menger性质与 K(X) 的遗传Baire性之间的联系。

提出的方法

• 在拓扑空间 X 上引入一种改进的强Choquet博弈 Ch(X)，以刻画 K(X) 的遗传Baire性。
• 采用博弈论方法证明：若玩家 II 在 Ch(X) 中拥有必胜策略，则 K(X) 是遗传Baire。
• 应用 Telgarsky 关于Menger空间与紧化结果，将余集 Z\X 的Menger性质与 K(X) 的遗传Baire性联系起来。
• 在博弈 GZ\X1(Ok,O) 中构造策略 σn，以分析 P(Z) 中测度的行为，并在 Pr(X) 不是遗传Baire 时导出矛盾。
• 定义 N 上的强P-滤子，并证明：滤子 F 是强P-滤子当且仅当 K(F) 是遗传Baire。
• 利用 P(Z) 中的紧致性与完备性论证，证明序列在 Mn 中的完备聚点 λ 必须属于 Pr(X)，从而在 Pr(X) 不是遗传Baire 时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在可分度量空间 X 的超空间 K(X) 的遗传Baire性的博弈论刻画？
• RQ2 K(X) 的遗传Baire性是否蕴含 Pr(X)，即 X 上Borel概率Radon测度空间的遗传Baire性？
• RQ3 能否通过其超空间 K(F) 的遗传Baire性来刻画 N 上的强P-滤子？
• RQ4 是否存在一个 ZFC 例子，使得 [0,1] 的非Gδ 子集 X 满足其Radon测度空间为遗传Baire？
• RQ5 紧化余集的Menger性质与 K(X) 的遗传Baire性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于可分度量空间 X，K(X) 是遗传Baire 当且仅当玩家 II 在强Choquet博弈 Ch(X) 中拥有必胜策略。
• 若 X 是可分度量空间且 K(X) 是遗传Baire，则 Pr(X) 也是遗传Baire，即使 X 不是完全度量空间。
• 存在一个 ZFC 例子，即 [0,1] 的非Gδ 子集 X ⊆[0,1]，使得 Pr(X) 是遗传Baire，从而否定性回答了关于完备性的开放问题。
• N 上的滤子 F 是强P-滤子当且仅当 K(F) 是遗传Baire，而后者成立当且仅当 {0,1}N\F 是Menger。
• 在紧化 Z 中，余集 Z\X 的Menger性质等价于 K(X) 是遗传Baire，以更简洁的证明重新获得了 Gartside、Medini 与 Zdomskyy 的结果。
• K(X) 是遗传Baire 当且仅当玩家 I 在博弈 GZ\X1(O*,O) 中无必胜策略，从而将博弈论性质与拓扑性质联系起来。