[论文解读] Games of fixed rank: a hierarchy of bimatrix games

Ravi Kannan, Thorsten Theobald|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2007

Game Theory and Applications参考文献 31被引用 30

一句话总结

本文引入并研究了固定秩k的双矩阵博弈，其中两名玩家收益矩阵之和的秩为k，从而推广了零和博弈。研究发现，即使在k=1时，纳什均衡也可能形成任意多个连通分支。本文提出了一个确定性算法和一个随机化多项式时间近似算法，用于寻找近似均衡，若某一猜想成立，后者甚至可能得到精确解。

ABSTRACT

We propose and investigate bimatrix games, whose (entry-wise) sum of the pay-off matrices of the two players is of rank k, where k is a constant. We will say the rank of such a game is k. For every fixed k, the class of rank k-games strictly generalizes the class of zero-sum games, but is a very special case of general bimatrix games. We show that even for k = 1 the set of Nash equilibria of these games can consist of an arbitrarily large number of connected components. While the question of exact polynomial time algorithms to find a Nash equilibrium remains open for games of fixed rank, we can provide a deterministic polynomial time algorithm for finding an e-approximation (whose running time is polynomial in 1\e) as well as a randomized polynomial time approximation algorithm (whose running time is similar), but which offers the possibility of finding an exact solution in polynomial time if a conjecture is valid. The latter algorithm is based on a new application of random sampling methods to quadratic optimization problems of fixed rank.

研究动机与目标

• 研究固定秩k双矩阵博弈中纳什均衡的结构与复杂性。
• 通过研究收益矩阵之和秩为k的博弈，推广零和博弈。
• 为固定秩博弈中近似纳什均衡的计算开发高效算法。
• 探讨在某一猜想成立的前提下，是否存在多项式时间精确解法。

提出的方法

• 将双矩阵博弈的秩定义为两名玩家收益矩阵之和的秩。
• 分析纳什均衡集的拓扑结构，证明即使在秩为1时，其也可能由任意多个连通分支组成。
• 设计一个确定性多项式时间算法，用于计算ε-近似纳什均衡，其时间复杂度在1/ε上为多项式。
• 提出一种基于随机采样的随机化多项式时间近似算法，用于求解固定秩二次优化问题。
• 利用随机采样技术降低固定秩二次规划问题的维度与复杂度。
• 基于一个猜想，提出该随机化算法在特定条件下可能以多项式时间求得精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着博弈秩k的增加，纳什均衡集的连通分支数量如何增长？
• RQ2 能否设计出用于近似或计算固定秩博弈中纳什均衡的多项式时间算法？
• RQ3 在固定秩博弈中，寻找精确纳什均衡的计算复杂度如何，特别是当k=1时？
• RQ4 随机采样方法能否有效应用于博弈论中出现的固定秩二次优化问题？
• RQ5 在何种条件下，固定秩博弈的随机化算法可能以多项式时间求得精确解？

主要发现

• 对于每个固定的k，包括k=1，固定秩k博弈的纳什均衡集可能由任意多个连通分支组成。
• 存在一个确定性多项式时间算法，可计算ε-近似纳什均衡，其运行时间在1/ε上为多项式。
• 提出了一种随机化多项式时间近似算法，其运行时间效率与前者相似。
• 若关于固定秩二次规划的某一猜想成立，则该随机化算法可能在多项式时间内计算出精确纳什均衡。
• 研究表明，将随机采样应用于固定秩二次优化问题，是一种可行且高效的近似求解方法。