[论文解读] Games on deBruijn Graphs and Cycle Means

Nadejda Drenska|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2026

Game Theory and Voting Systems被引用 0

一句话总结

该论文表明，在固定顶点权重的De Bruijn 图中，可以通过两人对弈的重复博弈为边赋权，使任意循环具有相同的平均权重；得到的值函数在图上求解离散泊松方程。

ABSTRACT

deBruijn graphs are widely used in genomics and computer science. In this paper we present a novel approach to finding weights on edges of doubly weighted deBruijn graphs. Given any fixed set of weights on vertices, we use a repeated two-person zero-sum game to find weights on edges so that every cycle on the deBruijn graph has the same average weight, providing explicit formulas. This approach uses minimax optimal strategies of the players. Once the weights on the edges are determined, we observe that they correspond to solving a set of linear equations with as many equations as there are cycles. This is very surprising, because there are many more cycles than unknowns. Moreover we analyze other, related games on graphs.

研究动机与目标

• 分析 DeBruijn 图中循环均值的动机来自基因组学和计算机科学的应用。
• 引入一个重复的两人零和博弈以在给定固定顶点权重的情况下确定边权。
• 证明存在使所有循环的平均权相等的边权。
• 显示边权解对应于在图上求解离散泊松方程。

提出的方法

• 定义一个带有顶点权重的 De Bruijn 图，边权受到每个顶点出边权和为零的约束。
• 建模一个重复的两人零和博弈，其中 Paul 选择边权，Carol 选择下一个顶点。
• 使用动态规划推导值函数 v(t,m)，并证明它满足极小极大递推关系。
• 通过一个线性关系从 v 推导出显式的边权 f(t,(m,m|ℓ))，在截断前与时间无关，从而得到相等的循环均值。
• 证明在时间 T−d 之前结束的循环具有相同的平均权重，该权重等于所有图中顶点权的算术平均值。
• 证明值函数在图上求解离散泊松方程 Δv = c − mean(c)。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在给定顶点权重的情况下为 De Bruijn 图中的每个循环选择边权，使其具有相同的平均权？
• RQ2 在所诱导的两人博弈中，最优策略的结构为何，以及它们如何与在图上求解线性系统或泊松方程相关？
• RQ3 对于相关博弈和没有汇点的一般有向图，是否也成立类似结果？

主要发现

• 存在一种边权分配，使所有循环具有相同的平均权，等于所有顶点权的算术平均值。
• 共同循环均值等于 (1/n^d) 乘以所有顶点权的总和。
• 值函数 v(t,m) 满足闭式表达式，且对于 t < T−d，求解离散泊松方程 Δv = c − mean(c)。
• Paul 使用的边权在时间 t ≤ T−d 时变为时间不变。
• Carol 的最优路径选择可以模型为确定性或概率性而不改变游戏的价值。