[论文解读] Gamma factors for Asai representations of ${ m GL}_2$

Shih-Yu Chen, Cheng Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了关于二次扩张 E/F 上 GL₂ 的 Asai 表示的 γ 因子的显式公式，将其与局部 zeta 积分（Rankin-Selberg 与 Piatetski-Shapiro–Rallis）以及 Weil-Deligne 表示联系起来。证明了 zeta 积分所得的 L-因子与 ϵ-因子与 Langlands 参数化所得的结果一致，且精确的 ϵ-因子恒等式涉及中心特征标、范数特征标与 Langlands 常数，完整解决了在 archimedean 与非 archimedean 情况下 n=1 与 n=2 的理论。

ABSTRACT

Let $E$ be a quadratic semisimple extension of a local field $F$ of characteristic zero. We determine explicit relation between gamma factors for Asai representations of $R_{E/F}{ m GL}_{2/E}$ defined by the Weil-Deligne representations and local zeta integrals. When $E = F imes F$, the results were due to Henniart and Jacquet. We completed the theory in this article based on explicit calculation.

研究动机与目标

• 通过将 zeta 积分因子与 Weil-Deligne 表示因子进行比较，完成对二次扩张 E/F 上 GL₂ 的 Asai 表示的 γ 因子理论。
• 解决 E 为域（而非 F×F）且 F 为 archimedean 或非 archimedean 的情形，扩展 Henniart、Jacquet 等人的先前结果。
• 建立涉及中心特征标、范数特征标与 Langlands 常数 λE/F(ψ) 的精确 ϵ-因子公式，这对 p-进 L-函数的构造至关重要。
• 利用 s=1/2 处的 ϵ-因子，证明 GL₂(F) 上三线性型的二分准则。
• 通过 Ichino 公式与局部周期积分，提供扭曲三重积 p-进 L-函数的显式插值公式。

提出的方法

• 作者利用局部 Langlands 对应，将 GL₂(E) 的不可约酉表示 π 与 GLₙ(F) 的表示 τ 关联到 Weil-Deligne 参数，形成张量表示 (r∘ϕπ)⊗ϕτ。
• 他们将 Asai 表示 r 定义为从 GL₂(C)×GL₂(C) 的张量诱导，并根据 σ|E 是否平凡，通过 Galois 作用交换分量。
• 对于 n=1，他们将 Rankin-Selberg zeta 积分 LRS(s, Asπ⊗τ) 与 εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) 与 Galois L-因子 LGal(s, Asπ⊗τ) 及 εGal(s, Asπ⊗τ,ψ) 进行比较。
• 对于 n=2，他们使用 Piatetski-Shapiro–Rallis zeta 积分 LPSR(s, Asπ⊗τ) 与 εPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ)，假设 π 与 τ 为一般表示，且 τ 是一个标准系列的子商。
• 他们在 archimedean 与非 archimedean 情况下均进行显式计算，利用 zeta 积分的函数方程与 GL₂-不变泛函的唯一性来确定 γ 因子。
• 他们推导出函数方程 Z(M*f(s),W) = γRS(s,Asπ,ψ,ξ)Z(f(s),W)，并利用已知的 L-函数归一化方法识别 γ 因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 zeta 积分定义的 Asai 表示的局部 L-与 ϵ-因子，与 Weil-Deligne 参数化所得的因子相比如何？
• RQ2 在 n=1 的情况下，zeta 积分所得的 ϵ-因子与 Galois ϵ-因子之间的确切关系为何？
• RQ3 在 n=2 情况下，扭曲 γ 因子的显式公式是什么？它如何与 Galois 因子及中心特征标相关联？
• RQ4 在何种条件下，π⊗τ 上存在非零的 GL₂(F)-不变三线性型？这与 s=1/2 处的 ϵ-因子有何关系？
• RQ5 这些局部因子恒等式如何用于构造并插值扭曲三重积 p-进 L-函数？

主要发现

• 当 n=1 且 π 为一般表示时，Rankin-Selberg L-因子 LRS(s, Asπ⊗τ) 等于 Galois L-因子 LGal(s, Asπ⊗τ)。
• Rankin-Selberg ϵ-因子满足 εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ωπ(ξ)ωτ(ξ²)|ξ²|_F^{s−1/2}λE/F(ψ)⁻¹εGal(s, Asπ⊗τ,ψ)，明确关联了两种因子化方式。
• 当 n=2 时，Piatetski-Shapiro–Rallis γ 因子满足 γPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ω(4ξ²)⁻¹|4ξ²|_F^{−2s+1}ωE/F(−1)γGal(s, Asπ⊗τ,ψ)，其中 ω = ωπ|F×·ωτ。
• 二分准则成立：HomGL₂(F)(π⊗τ,ℂ) ≠ 0 当且仅当 ωE/F(−1)εGal(1/2, Asπ⊗τ) = 1。
• 这些结果对构造扭曲三重积 p-进 L-函数至关重要，因为它们确认了 Ichino 公式中局部周期积分的非零性与良好的 p-进性质。
• zeta 积分的函数方程通过 GL₂-不变泛函的唯一性与互换算子 M* 的显式计算得以证明。