[论文解读] Gamma factors for genuine principal series of covering groups (with an appendix by Caihua Luo)

Fan Gao, Freydoon Shahidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

本文研究了 $p$-进域上重李群的 $n$-重 Brylinski-Deligne 覦盖的真正主系由的局部系数矩阵，其中 Whittaker 泛函并非唯一确定。文章建立了类 Casselman-Shalika 公式，并揭示了局部系数矩阵、 $L$-因子与梅塔普利克-$L$-因子之间的深刻联系，特别是在 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 限制情形下。

ABSTRACT

We consider an $n$-fold Brylinski-Deligne cover of a reductive group over a $p$-adic field. Since the space of Whittaker functionals of an irreducible genuine representation of such a cover is not one-dimensional, one can consider a local coefficients matrix arising from an intertwining operator, which is the natural analogue of the local coefficients in the linear case. In this paper, we concentrate on genuine principal series and establish some fundamental properties of such a local coefficients matrix, including the investigation of its arithmetic invariants. As a consequence, we prove a form of the Casselman-Shalika formula which could be viewed as a natural analogue for linear algebraic groups. We also investigate in some depth the behaviour of the local coefficients matrix with respect to the restriction of genuine principal series from covers of ${ m GL}_2$ to ${ m SL}_2$. In particular, some further relations are unveiled between local coefficients matrices and gamma factors or metaplectic-gamma factors.

研究动机与目标

• 理解 $p$-进域上重李群的 $n$-重覆盖的真正表示的 Whittaker 泛函结构，其中泛函空间并非一维的。
• 在真正主系由设定下，定义并分析由 intertwining 算子产生的局部系数矩阵。
• 为覆盖群建立类 Casselman-Shalika 公式，作为线性情形的自然类比。
• 研究从 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 覆盖的限制下局部系数矩阵的行为。
• 揭示局部系数矩阵与 $L$-因子（包括梅塔普利克-$L$-因子）之间的结构性与算术关系。

提出的方法

• 将局部系数矩阵构造为真正主系由表示中由 Weyl 群作用诱导的 Whittaker 泛函之间的过渡矩阵。
• 利用 Brylinski-Deligne 覇盖理论来建模 $p$-进域上重李群的 $n$-重覆盖。
• 应用诱导表示之间的 intertwining 算子，推导局部系数矩阵并分析其解析与算术性质。
• 运用梅塔普利克群及其 $L$-函数的理论，将局部系数矩阵与 $L$-因子联系起来。
• 分析从 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 覆盖的真正主系由的限制，以揭示结构对称性与分解模式。
• 利用 Caihua Luo 的附录，为覆盖群结构与表示理论的分析提供基础技术工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $p$-进域上重李群的 $n$-重覆盖的真正主系由表示中，局部系数矩阵如何表现？
• RQ2 此类表示中的 Whittaker 泛函结构为何种形式？与线性情形有何不同？
• RQ3 能否为覆盖群的真正主系由建立类 Casselman-Shalika 公式？
• RQ4 从 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 覆盖的限制下，局部系数矩阵如何变换？
• RQ5 局部系数矩阵与 $L$-因子（特别是梅塔普利克-$L$-因子）之间的精确关系为何？

主要发现

• 真正主系由的 $n$-重覆盖的局部系数矩阵是良好定义的，并具有非平凡的算术结构，推广了线性情形。
• 为真正主系由建立了类 Casselman-Shalika 公式，提供了以 Langlands 参数与根系数据表示 Whittaker 向量的特征公式。
• 从 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 覆盖的真正主系由的限制，诱导出局部系数矩阵的非平凡分解，揭示了隐藏的对称性。
• 局部系数矩阵与梅塔普利克-$L$-因子有深刻联系，在 $ {GL}_2$ 到 $ {SL}_2$ 限制情形下显现出明确关系。
• 局部系数矩阵的算术不变量（如极点与留数）得到研究，并与 $L$-函数的解析行为相关联。
• Caihua Luo 的附录提供了关键的技术基础，包括 $n$-重覆盖的分类与相关 Weyl 群作用的结构。