[论文解读] Gamow vectors and Supersymmetric Quantum Mechanics

Óscar Rosas-Ortiz|ArXiv.org|Oct 13, 2008

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的超对称量子力学方法，利用Gamow向量——非厄米哈密顿量的本征态，具有复数本征值——将自伴哈密顿量转化为新的非厄米算符。所得哈密顿量表现出纯实离散谱，或实谱扩展为一个可平方可积的复本征值，为研究共振态和衰变系统提供了一类新型非伪厄米、非复数缩放的哈密顿量。

ABSTRACT

Gamow solutions are used to transform self-adjoint energy operators by means of factorization (supersymmetric) techniques. The transformed non-hermitian operators admit a discrete real spectrum which is occasionally extended by a single complex eigenvalue associated to normalized eigensolutions. These new Hamiltonians are not pseudo-hermitian operators and also differ from those obtained by means of complex-scaling transformations. As an example, Coulomb-like potentials are studied.

研究动机与目标

• 开发一种利用Gamow向量作为因子分解工具的超对称变换方法。
• 从自伴算符构造非厄米哈密顿量，使其保持实离散谱，或包含一个可平方可积的复本征值。
• 为衰变量子态建模提供复数缩放和伪厄米方法的替代方案。
• 在不依赖广义希尔伯特空间形式体系的前提下，探索这些新哈密顿量的数学结构。
• 在类库仑势上示范该方法，明确构造变换后的势能和本征态。

提出的方法

• 利用Gamow态——含复能量本征值 $ Z_G = E_G - i\Gamma_G $ 的薛定谔方程解——作为因子分解函数。
• 应用复数版本的超对称因子分解方法：$ v_\ell(r) = V_\ell(r) - 2\frac{\omega'(r)}{\omega(r)} $，其中 $ \omega(r) $ 为广义Gamow向量。
• 通过合流超几何函数及关联拉盖尔型解构造 $ \omega(r) $，特别适用于库仑势 $ V(r) = -2/r $。
• 通过 intertwining 关系 $ hB = BH $，$ HA = Ah $ 推导新的非厄米哈密顿量，其中 $ A $ 和 $ B $ 不一定互为共轭。
• 利用广义Gamow向量 $ \omega(r) $ 生成具有实离散谱和一个复本征值的非厄米势 $ v_\ell(r) $。
• 通过绘制势能、波函数及径向距离（例如至40个玻尔半径）上本征态行为的数值结果验证方法有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Gamow向量用作因子分解函数，以生成具有实谱或部分复谱的非厄米哈密顿量？
• RQ2 通过该方法得到的变换后哈密顿量的谱特性与复数缩放或伪厄米方法的结果相比如何？
• RQ3 所得非厄米算符是否能支持一个可平方可积的复本征态，同时保持实离散谱？
• RQ4 使用Gamow向量时，类库仑系统变换后势能 $ v_\ell(r) $ 的显式形式是什么？
• RQ5 是否可以迭代应用此方法，以生成具有多个复本征值的高阶非厄米哈密顿量？

主要发现

• 基于Gamow向量的变换生成了具有纯实离散谱的非厄米哈密顿量，其特性与伪厄米或复数缩放算符均不同。
• 对于库仑势 $ V(r) = -2/r $，该方法构造出一个非厄米势 $ v_\ell(r) $，其谱为实谱扩展为一个复本征值 $ \epsilon = -0.2604 + i\,0.104 $（单位为13.5 eV）。
• 对应于复本征值的本征解 $ \Psi_\epsilon(r) $ 是可平方可积的，在 $ r = 0.05\,r_B $ 处出现峰值，并在 $ r = 19\,r_B $ 处呈现环状分布。
• 广义Gamow向量 $ \omega(r) $ 表示为合流超几何函数与对数超几何函数 $ U(a,c,z) $ 的组合，从而实现变换的显式构造。
• 该方法生成的非厄米势 $ v_\ell(r) $ 并不等价于复数缩放势 $ V_\theta(r) = e^{i2\theta}V(re^{i\theta}) $，表明其具有根本不同的变换机制。
• 该方法的二阶迭代可生成具有两个共轭复本征值 $ \epsilon $ 和 $ \overline{\epsilon} $ 的非厄米哈密顿量，同时保持谱的其余部分为实数。