[论文解读] GAP Computations Concerning Hamiltonian Cycles in the Generating Graphs of Finite Groups

Thomas Breuer|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本论文通过GAP计算提供了计算证据，表明有限群的生成图——特别是PSL(2,q)、阶不超过10^7的非交换单群，以及某些非可解群——包含哈密顿回路。通过应用基于特征理论的顶点度数下界，并验证Pósa和Chvátal的判别准则，作者确认了这些群的哈密顿性，支持了关于有限非循环群的生成图中存在哈密顿回路的更广泛猜想。

ABSTRACT

This is a collection of examples showing how the GAP system can be used to compute information about the generating graphs of finite groups. It includes all examples that were needed for the computational results in the paper "Hamiltonian cycles in the generating graphs of finite groups" by Thomas Breuer, Robert M. Guralnick, Andrea Lucchini, Attila Maróti, and Gábor P. Nagy. The purpose of this writeup is twofold. On the one hand, the computations are documented this way. On the other hand, the GAP code shown for the examples can be used as test input for automatic checking of the data and the functions used.

研究动机与目标

• 通过计算验证有限非循环群的生成图中哈密顿回路的存在性。
• 使用顶点度数下界，检验Pósa和Chvátal判别准则在哈密顿回路中的有效性。
• 支持如下猜想：有限非循环群的生成图具有哈密顿回路，当且仅当其每个非平凡正规子群的商群均为循环群。
• 提供可复现的GAP代码和数据，以验证先前工作的计算结果。
• 将哈密顿回路结果扩展至散在单群、其自同构群以及更大的q值下的PSL(2,q)。

提出的方法

• 基于共轭类和极大子群，使用基于特征理论的方法计算生成图中的顶点度数。
• 应用闭包准则，将问题简化为检查图的迭代闭包中的哈密顿性。
• 应用Pósa和Chvátal的充分条件：检查顶点度数是否满足d_k ≥ k+1或d_{m−k} ≥ m−k（k < m/2）。
• 通过置换特征标1_M^G和本原特征标的多重集Π，实现顶点度数的下界估计。
• 使用GAP函数计算群的特征表、本原置换特征标和共轭类结构。
• 通过自动化测试验证结果，GAP代码中禁用断言以确保向后兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有阶不超过10^7的非交换单群的生成图是否都包含哈密顿回路？
• RQ2 对于所有满足q ≥ 13的素幂q，PSL(2,q)的生成图是否都存在哈密顿回路？
• RQ3 对于阶≤10^6的非可解群，猜想是否成立：有限非循环群的生成图具有哈密顿回路，当且仅当对所有非平凡正规子群N，G/N为循环群？
• RQ4 基于特征理论的顶点度数下界能否有效用于验证哈密顿性，而无需完整枚举？
• RQ5 在有限群的生成图中，闭包准则的计算行为如何？

主要发现

• 对于所有阶不超过10^7的非交换单群，GAP计算已确认其生成图中存在哈密顿回路。
• 对于所有素幂q > 11，PSL(2,q)的生成图满足Pósa判别准则，其顶点度数超过阶为2、3、4或5的元素数量。
• 当q > 11时，PSL(2,q)中的每个对合（involution）的顶点度数大于n(q,2) = q^2 - 1（若q为偶数）或≤ q(q+1)/2（若q为奇数），满足Pósa条件。
• 当φ((q+1)/k) ≥ 12时，PSL(2,q)中阶为3、4或5的元素的顶点度数超过阶≤5的元素总数，满足Pósa判别准则。
• GAP代码成功验证了当2 ≤ q ≤ 11时PSL(2,q)的哈密顿性，尽管此时度数下界不成立，但通过直接计算0阶闭包实现。
• 在怪物群中，恰好存在一个共轭类的极大子群同构于PSL(2,41)，且不存在以PSL(2,27)为底的极大子群，这改进了第4.2节中的先前下界。