[论文解读] Gap-planar Graphs

Hugo A. Akitaya, R. Inkulu+9 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文引入了k-gap-planar图，这是一种非平面图家族，其中每条边最多有k个交叉点，其动机源于可视化中的边遮蔽处理。研究建立了紧致的密度界限（O(√k·n)条边），证明了1-gap-planar图的识别问题是NP完全的，并刻画了哪些完全图和完全二分图是1-gap-planar的，表明当且仅当n ≤ 8时，Kₙ是1-gap-planar的。

ABSTRACT

We introduce the family of $k$-gap-planar graphs for $k \geq 0$, i.e., graphs that have a drawing in which each crossing is assigned to one of the two involved edges and each edge is assigned at most $k$ of its crossings. This definition is motivated by applications in edge casing, as a $k$-gap-planar graph can be drawn crossing-free after introducing at most $k$ local gaps per edge. We present results on the maximum density of $k$-gap-planar graphs, their relationship to other classes of beyond-planar graphs, characterization of $k$-gap-planar complete graphs, and the computational complexity of recognizing $k$-gap-planar graphs.

研究动机与目标

• 为了形式化并分析k-gap-planar图，这是一种具有非对称交叉分配的新型非平面图类别。
• 为了确定k-gap-planar图的最大边密度，并建立紧致的渐近界限。
• 为了刻画哪些完全图和完全二分图是1-gap-planar的。
• 为了研究识别k-gap-planar图的计算复杂性。
• 为了探索k-gap-planar图与其他非平面图族（如k-planar图和拟平面图）之间的关系。

提出的方法

• 通过将每个交叉点分配给参与的两条边中的一条，提出k-gap-planar图，且每条边最多接收k个交叉点。
• 使用极值图论和平面化技术推导边密度的上界。
• 通过适配Hall条件，利用交叉点上的匹配条件来刻画k-gap-planar图。
• 通过从3-Partition问题归约，证明即使在固定旋转系统的情况下，识别问题也是NP完全的。
• 通过显式构造完全图和完全二分图的1-gap-planar图示，建立紧致界限。
• 通过结构和密度分析，研究k-gap-planar图与k-planar图及(2k+2)-quasiplanar图之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有n个顶点的k-gap-planar图最多有多少条边？该界限能否进一步收紧？
• RQ2 对于哪些完全图Kn，1-gap-planarity是可能的？该性质成立的最大n值是多少？
• RQ3 即使旋转系统被固定，1-gap-planar图的识别问题是否仍是NP完全的？
• RQ4 k-gap-planar图与k-planar图和拟平面图等其他非平面图族之间有何关系？
• RQ5 1-gap-planar图能否支持具有少量弯折的RAC图示？其与扇形平面图的关系如何？

主要发现

• 具有n个顶点的k-gap-planar图最多有O(√k·n)条边，且该界限在常数因子范围内是紧致的。
• 当k=1时，1-gap-planar多重图最多有5n−10条边，且该界限对所有n≥20都是紧致的。
• 完全图Kn是1-gap-planar当且仅当n≤8。
• 完全二分图K₅,₆存在1-gap-planar图示，但K₅,₇由于交叉数约束而不存在。
• 即使旋转系统被固定，识别1-gap-planar图仍是NP完全的。
• 2k-planar图类严格包含于k-gap-planar图类中，而k-gap-planar图类又严格包含于(2k+2)-quasiplanar图类中。