[论文解读] Gap theorem on Kähler manifold with nonnegative orthogonal bisectional curvature

Lei Ni, Yanyan Niu|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了完备非紧致凯勒流形在非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率条件下的间隙定理，证明当平均标量曲率衰减足够快时，此类流形必为平坦。此外，本文在这些曲率条件下证明了一个全纯凸函数的Liouville定理，推广了先前结果，将曲率假设从非负全纯双全纯曲率放松至非负正交双全纯曲率。

ABSTRACT

In this paper we prove a gap theorem for Kähler manifolds with nonnegative orthogonal bisectional curvature and nonnegative Ricci curvature, which generalizes an earlier result of the first author. We also prove a Liouville theorem for plurisubharmonic functions on such a manifolds, which generalizes a previous result of L.-F. Tam and the first author.

研究动机与目标

• 将凯勒流形的间隙定理从非负全纯双全纯曲率推广至更弱的非负正交双全纯曲率条件。
• 将全纯凸函数的Liouville定理从非负全纯双全纯曲率推广至非负正交双全纯曲率条件。
• 通过求解庞加莱-刘维尔方程，建立标量曲率衰减与曲率消失之间的联系。
• 证明曲率条件（NOB）严格弱于非负全纯双全纯曲率，但强于非负二次正交双全纯曲率。
• 构造了具有非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率但不具有非负全纯双全纯曲率的凯勒度量的显式例子。

提出的方法

• 利用(1,1)-形式上的Hodge-Laplacian热流演化里奇形式，并研究解的渐近行为。
• 应用[11]和[13]中的单调性公式，以在证明中利用正交双全纯曲率的非负性。
• 通过热流构造最优解，利用形式范数的积分衰减条件求解庞加莱-刘维尔方程。
• 采用抛物方法与部分最大值原理，控制在曲率约束下全纯凸函数的增长。
• 使用具有U(n)-对称性的径向模型，推导出非负正交双全纯曲率与里奇曲率的必要与充分条件。
• 通过涉及体积增长与曲率衰减的积分不等式，分析曲率分量的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率的较弱假设下，平坦性间隙定理是否仍成立？
• RQ2 全纯凸函数的Liouville定理能否从非负全纯双全纯曲率推广至非负正交双全纯曲率？
• RQ3 在曲率衰减与几何刚性方面，非负正交双全纯曲率与非负全纯双全纯曲率之间的确切关系为何？
• RQ4 能否构造出具有非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率但不具有非负全纯双全纯曲率的凯勒度量的显式例子？
• RQ5 标量曲率的积分衰减条件与间隙定理中曲率消失之间有何关系？

主要发现

• 对于完备非紧致凯勒流形，若其具有非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率，且平均标量曲率衰减为o(r⁻²)，则间隙定理成立。
• 建立了全纯凸函数的Liouville定理：若u连续且满足lim_{x→∞} u(x)/log r(x) = 0，则在非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率条件下，u为常数。
• 对于范数为f的(1,1)-形式ρ，庞加莱-刘维尔方程的解满足涉及k_f(r)积分的逐点估计，其中显式常数依赖于维数与ε。
• 对于ℂⁿ上的U(n)-不变凯勒度量，非负正交双全纯曲率与非负里奇曲率等价于条件A+C≥0，A+(n−1)B≥0，B≥0，C≥0。
• 本文构造了例子，表明非负正交双全纯曲率严格弱于非负全纯双全纯曲率，但强于非负二次正交双全纯曲率。
• 通过细化函数B(r)的分析，简化了[7]中引理4.3(ii)，并证明在曲率条件下，当r足够大时，B(r)保持为正。