[论文解读] Gapped Phases in (2+1)d with Non-Invertible Symmetries: Part I

Lakshya Bhardwaj, Daniel Pajer+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2024

Liquid Crystal Research Advancements被引用 6

一句话总结

本文使用对称性拓扑场理论（SymTFT）来对具有玻色型融合2-范畴对称性的(2+1)d系统中的无能隙相进行分类，揭示了大量非最小边界条件及相应的无能隙相的无限族，并以 G = Z2 和一般阿贝尔群为例。

ABSTRACT

We use the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) to study and classify gapped phases in (2+1)d for a class of categorical symmetries, referred to as being of bosonic type. The SymTFTs for these symmetries are given by twisted and untwisted (3+1)d Dijkgraaf-Witten (DW) theories for finite groups G. A finite set of boundary conditions (BCs) of these DW theories is well-known: these simply involve imposing Dirichlet and Neumann conditions on the (3+1)d gauge fields. We refer to these as minimal BCs. The key new observation here is that for each DW theory, there exists an infinite number of other BCs, that we call non-minimal BCs. These non-minimal BCs are all obtained by a 'theta construction', which involves stacking the Dirichlet BC with 3d TFTs having G 0-form symmetry, and gauging the diagonal G symmetry. On the one hand, using the non-minimal BCs as symmetry BCs gives rise to an infinite number of non-invertible symmetries having the same SymTFT, while on the other hand, using the non-minimal BCs as physical BCs in the sandwich construction gives rise to an infinite number of (2+1)d gapped phases for each such non-invertible symmetry. Our analysis is thoroughly exemplified for G = $\mathbb{Z_2}$ and more generally any finite abelian group, for which the resulting non-invertible symmetries and their gapped phases already reveal an immensely rich structure.

研究动机与目标

• 表征并分类具有玻色型融合2-范畴对称性的(2+1)d 无能隙相。
• (3+1)d DW 理论存在无限多个无能隙边界条件（非最小边界条件）。
• 演示通过 theta 构造，非最小边界条件如何产生同一 SymTFT 的无限多非可逆对称性族。
• 对 G = Z2 和一般阿贝尔群给出明确分析，以说明非可逆对称性及相关相的结构。

提出的方法

• 将 SymTFT 框架应用于有限群 G 的 (3+1)d DW 理论。
• 将无能隙边界条件分为最小的（Dirichlet/Neumann）和非最小的（将 Dirichlet/Neumann 与 3d TFT 堆叠并进行对角 gauging）。
• 使用 theta 构造通过将堆叠的 3d TFT 与对角 gauging 耦合来生成非最小 BCs。
• 将玻色型对称性下的 Drinfeld 中心 Z( S ) 表述为 Z(2Vec_G^τ)，并相应地组织拓扑缺陷。
• 通过夹心/区间紧致化方法分析边界条件及由此产生的 (2+1)d 无能隙相。

实验结果

研究问题

• RQ1 融合2-范畴玻色型对称性如何作为 (3+1)d DW 理论的边界数据实现？
• RQ2 包含非最小边界条件在内的 (3+1)d Z2 DW 理论的全部无能隙边界条件集合是什么？
• RQ3 非最小 BC 如何产生非可逆对称性以及无限的(2+1)d 无能隙相景观？
• RQ4 阿贝尔群 G 的无能隙相结构如何，theta 构造如何影响它们？

主要发现

• 对于每一个 (3+1)d DW 理论，存在无限数量的非最小无能隙边界条件，超出熟悉的 Dirichlet/Neumann 最小 BCs。
• 非最小边界条件通过将 Dirichlet BC 与一个 3d TFT 堆叠并对角对称性 G 进行 gauging（theta 构造）来获得。
• 同一 SymTFT（G 的 DW 理论）在对称边界上实现了一族无限的非可逆对称性。
• 对于 G = Z2 和一般阿贝尔 G，本文明确展示了非可逆对称性及相应的 (2+1)d 无能隙相的丰富结构。
• 该分析使用 Drinfeld 中心 Z( S ) = Z(2Vec_G^τ) 来组织对称性框架下的拓扑缺陷与边界数据。
• 结果支持在 (2+1)d 中用高范畴的兰道范式（SymTFT）来对称相进行分类。