[论文解读] Gapped Phases with Non-Invertible Symmetries: (1+1)d

Lakshya Bhardwaj, Lea E. Bottini+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 19

一句话总结

本文提出基于 SymTFT 的框架，用以分类具有不可逆（融合范畴）对称性的 (1+1)d 无缝隙相，详细给出序参量、真空结构和对称性作用，并对 Rep(S3) 和 TY(ZN) 情况给出明确处理。

ABSTRACT

We propose a general framework to characterize gapped infra-red (IR) phases of theories with non-invertible (or categorical) symmetries. In this paper we focus on (1+1)d gapped phases with fusion category symmetries. The approach that we propose uses the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) as a key input: associated to a field theory in d spacetime dimensions, the SymTFT lives in one dimension higher and admits a gapped boundary, which realizes the categorical symmetries. It also admits a second, physical, boundary, which is generically not gapped. Upon interval compactification of the SymTFT by colliding the gapped and physical boundaries, we regain the original theory. In this paper, we realize gapped symmetric phases by choosing the physical boundary to be a gapped boundary condition as well. This set-up provides computational power to determine the number of vacua, the symmetry breaking pattern, and the action of the symmetry on the vacua. The SymTFT also manifestly encodes the order parameters for these gapped phases, thus providing a generalized, categorical Landau paradigm for (1+1)d gapped phases. We find that for non-invertible symmetries the order parameters involve multiplets containing both untwisted and twisted sector local operators, and hence can be interpreted as mixtures of conventional and string order parameters. We also observe that spontaneous breaking of non-invertible symmetries can lead to vacua that are physically distinguishable: unlike the standard symmetries described by groups, non-invertible symmetries can have different actions on different vacua of an irreducible gapped phase. This leads to the presence of relative Euler terms between physically distinct vacua. We also provide a mathematical description of symmetric gapped phases as 2-functors from delooping of fusion category characterizing the symmetry to Euler completion of 2-vector spaces.

研究动机与目标

• 促使具有融合范畴对称性（不可逆）的理论的无缝隙 IR 相分类。
• 提出一个具有两个边界的对称性 SymTFT（SymTFT）框架，以编码对称性和 IR 数据。
• 描述如何从 SymTFT 设置中提取真空、对称性作用和序参量。
• 给出在 (1+1)d 情况下 Rep(S3) 和 Tambara-Yamagami TY(ZN) 对称性的显式分类。

提出的方法

• 利用与融合范畴 S 相关的 (d+1) 维 SymTFT Z(S) 来组织 IR 数据。
• 通过 Z(S) 中的拉格朗日代数对 Z(S) 的不可约拓扑边界条件进行分类。
• 固定由拉格朗日代数 AS 实现的对称边界 Bsym_S，以及由 Aphys 实现的物理边界 Bphys，以获得 S-对称的无缝隙相。
• 把广义电荷和序参量解释为在 Z(S) 中以结尾于物理边界 Aphys 的线，从而得到范畴化的兰道范式。
• 通过线段在两个边界上终止的方式及其对 IR 算符的作用，描述真空与对称性作用。
• 探索非可逆对称性的自发破缺以及真空之间相对 Euler 项的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用 SymTFT 框架对带有融合范畴对称性的无缝隙 (1+1)d 相进行分类？
• RQ2 哪些广义电荷和序参量可以区分 S-对称的无缝隙相？
• RQ3 非可逆对称性的自发破缺在物理上如何表现，以及 Euler 项如何区分真空？
• RQ4 在 (1+1)d 中 Rep(S3) 和 TY(ZN) 对称性下的显式相结构是什么？
• RQ5 该框架与可逆群状对称性的传统 SSB 与 SPT 图景有何关系？

主要发现

• 一种系统性的基于 SymTFT 的程序，用于分类 S-对称的 (1+1)d 无缝隙相，包括真空和对称性作用。
• 序参量的广义电荷是混合未扭曲（局部）和扭曲（字符串）算符的多重表征，在非可逆对称性下。
• 非可逆对称性的自发破缺可能产生具有不同对称性作用和相对 Euler 项的物理上可区分的真空。
• Rep(S3) 对称性的无缝隙相的显式分类，包括不同的 SSB 与 SSB-在不同真 vacuum 的分区。
• 对 intrinsically 非可逆 TY(ZN) 对称性的分级及序参量结构的分类，涵盖 Ising 型情形及其真空。