[论文解读] Gaps between Primes in Beatty Sequences

Roger C. Baker, Liangyi Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文将Maynard关于素数间有界间隔的方法应用于无理数 $\alpha > 1$ 的Beatty序列 $[\alpha n + \beta]$，证明了此类素数簇中存在有界间隔。在$\alpha$满足丢番图条件的前提下，给出了此类素数簇直径的显式上界，表明对任意 $t \geq 2$，在 $[N, 2N)$ 中存在 $t$ 个形如 $[\alpha n + \beta]$ 的素数，其直径 $\ll \alpha(\log\alpha + t)\exp(7.743t)$。该结果通过Beatty序列的Bombieri–Vinogradov型误差估计，将Zhang与Maynard的有界间隔结果推广至稀疏序列。

ABSTRACT

In this paper, we study the gaps between primes in Beatty sequences following the methods in the recent breakthrough of J. Maynard.

研究动机与目标

• 将Maynard的有界间隔结果推广至无理数 $\alpha > 1$ 的Beatty序列 $[\alpha n + \beta]$ 中的素数。
• 为这类序列中 $t$ 个素数的簇直径建立显式上界。
• 为指数和在Beatty序列上的情形发展一种Bombieri–Vinogradov型估计，以在筛法中控制误差项。
• 证明在 $\alpha$ 满足丢番图条件时，存在无穷多组 $t$ 个素数，其间隔有界，形式为 $[\alpha n + \beta]$。

提出的方法

• 通过构造在算术级数中分布受控的合适筛权系统，将Maynard的多维筛法推广至Beatty序列的设定。
• 提出一个新的Bombieri–Vinogradov型估计（定理4），用于Beatty序列上的指数和，控制形如 $\sum_{n \equiv a \pmod{q}, \gamma n \in I \bmod{1}} \Lambda(n) - \frac{(N-N')|I|}{\varphi(q)}$ 的误差项。
• 利用Siegels–Walfisz定理与特征和估计（通过Pólya–Vinogradov与大筛法技术），控制模数不超过 $N^{2/7 - \varepsilon}$ 的算术级数中的误差项。
• 应用大筛法与 $L^2$-矩估计，控制权重函数的 $L^2$-范数，确保筛法泛函为正。
• 采用筛权的五项分解（$s=5$）处理对偶问题，使误差项中产生抵消。
• 建立一个新的 $L^2$-矩估计（引理19），用于求和 $\sum_{m \leq M} a_m \chi(m)$，这对控制二阶区间内特征和至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 Maynard的有界间隔方法能否推广至如Beatty序列 $[\alpha n + \beta]$ 这类稀疏序列？
• RQ2 在 $\alpha$ 满足丢番图条件时，$t$ 个素数在Beatty序列中的直径可给出何种显式上界？
• RQ3 如何将Bombieri–Vinogradov定理推广至无理数 $\alpha$ 的Beatty序列上的指数和？
• RQ4 间隔直径对 $t$、$\alpha$ 以及 $\alpha$ 的丢番图类型的最优依赖关系为何？
• RQ5 该方法能否在适当的无理性条件下，给出Beatty序列中 $t$ 个素数组的正密度？

主要发现

• 对任意 $t \geq 2$，若 $\alpha > 1$ 为无理数且对所有 $r \in \mathbb{N}$ 满足 $\|\gamma r\| \gg r^{-3}$（其中 $\gamma = \alpha^{-1}$），则在 $[N, 2N)$ 中存在一组 $t$ 个形如 $[\alpha n + \beta]$ 的素数，其直径 $\ll \alpha(\log\alpha + t)\exp(7.743t)$。
• 通过更精细的筛权分析与 $L^2$-矩估计，指数中的常数由Maynard原始结果的 $8t$ 改进为 $7.743t$。
• 在相同丢番图条件下，建立了Beatty序列的新Bombieri–Vinogradov型估计（定理4），其误差项有界于 $O(N \mathcal{L}^{-A})$（对任意 $A > 0$）。
• 该方法在无理数 $\alpha$ 为有限型时，可给出Beatty序列中 $t$ 个素数组的正下密度，尽管此情形下未给出显式常数。
• 筛不等式中常数 $b$ 的下界被证明为 $b > 0.90411$，这确保了筛法泛函的正性，从而支持了有界间隔 $t$-元组的构造。
• 直径上界是有效且显式的，隐含常数 $C_4$ 为绝对常数，且对所有 $N > C_1(t, \alpha, \beta)$ 成立。