[论文解读] Gaps in sumsets of $s$ pseudo s-th power sequences

Javier Cilleruelo, Jean‐Marc Deshouillers|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文研究了随机伪 $ s $ 次幂序列 $ A $ 的和集 $ sA $ 中间隙的分布，其中 $ s \geq 2 $。通过概率方法与相关性不等式，证明了几乎必然地，归一化间隙大小 $ (b_{n+1} - b_n)/\log b_n $ 的上极限收敛于 $ s^s s! / \Gamma^s(1/s) $，为这类和集中最大间隙长度提供了精确的渐近估计。

ABSTRACT

We study the length of the gaps between consecutive members in the sumset sA when A is a pseudo s-th power sequence, with s>1. We show that, almost surely, limsup (b_{n+1}-b_{n})/log (b_n) = s^s s!/Γ^s(1/s), where b_n are the elements of sA.

研究动机与目标

• 分析和集 $ sA $ 中连续元素之间间隙的分布，其中 $ A $ 为伪 $ s $ 次幂序列。
• 确定和集 $ sA $ 中最大间隙大小的几乎必然渐近行为，归一化因子为 $ \log b_n $。
• 通过严格分析随机表示中的依赖结构，将概率加法数论结果推广至高阶和集。
• 建立归一化间隙大小上极限的精确上界，验证基于泊松近似的启发式预测。

提出的方法

• 构建一个概率空间，其中每个整数 $ n $ 以概率 $ \frac{1}{s} n^{-1 + 1/s} $ 独立地包含在 $ A $ 中，以建模伪 $ s $ 次幂。
• 定义事件 $ F_i = \{ sA \cap [i, i + \alpha \log i] = \emptyset \} $，表示 $ sA $ 中无元素的区间，以建模潜在间隙。
• 应用广义的博雷尔-坎特利引理，判断此类间隙事件是否几乎必然无限次发生。
• 使用詹森的相关性不等式，控制事件 $ E_\omega $ 之间的依赖性，其中 $ \omega $ 是其 $ s $ 重和覆盖目标区间的整数集合。
• 采用多重线性求和估计（引理1）以控制和表示的概率及重叠集合之间的依赖性。
• 对类似于方差的和 $ \sum_{i<j} (P(F_i \cap F_j) - P(F_i)P(F_j)) $ 进行三重分解，以验证博雷尔-坎特利条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于伪 $ s $ 次幂序列 $ A $，和集 $ sA $ 中最大间隙大小的几乎必然渐近行为是什么？
• RQ2 当 $ n \to \infty $ 时，归一化间隙大小 $ (b_{n+1} - b_n)/\log b_n $ 的行为如何？
• RQ3 基于表示计数的泊松近似所得到的启发式预测，能否在 $ sA $ 的间隙分布中被严格证实？
• RQ4 和表示之间的依赖性在决定随机和集中极值间隙大小时起什么作用？

主要发现

• 归一化间隙大小 $ (b_{n+1} - b_n)/\log b_n $ 的上极限几乎必然收敛于 $ \frac{s^s s!}{\Gamma^s(1/s)} $。
• 该结果验证了基于 $ sA $ 中表示计数服从参数为 $ \lambda_s = \Gamma^s(1/s)/(s^s s!) $ 的泊松分布的启发式预测。
• 证明表明，若 $ \alpha < \lambda_s^{-1} $，则大小约为 $ \sim \alpha \log n $ 的大间隙无限次出现的概率为正；否则为零。
• 该分析通过詹森不等式与多重线性求和估计，严格考虑了重叠和表示之间的依赖性。
• 该界是精确的：任何更大的归一化方式都将导致上极限为无穷，且该常数恰好等于泊松参数 $ \lambda_s $ 的倒数。