[论文解读] "Gauge" in General Relativity: Second-order general relativistic gauge-invariant perturbation theory

K. Nakamura|ArXiv.org|Nov 7, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通过严格区分两种类型的规范自由度：坐标（第一类）和点对应（第二类）规范，建立了广义相对论中的二阶规范不变扰动理论。通过使用李导数，推导出度规和物质场在一阶与二阶下的显式规范不变变量，从而在宇宙学和天体物理学中实现无非物理规范赝象的一致非线性微扰计算。

ABSTRACT

As in the case of the other gauge field theories, there is so called ``gauge'' also in general relativity. This ``gauge'' is unphysical degree of freedom. There are two kinds of ``gauges'' in general relativity. These are called the first- and the second-kind of gauges, respectively. The gauge of the first kind is just coordinate system on a single manifold. On the other hand, the gauge of the second kind arises in the general relativistic perturbations. Through the precise distinction of these two concepts of ``gauges'', we develop second-order gauge-invariant general relativistic perturbation theory.

研究动机与目标

• 阐明广义相对论中两种规范自由度的理论区别：坐标（第一类）规范与点对应（第二类）规范。
• 通过将第二类规范视为连接背景时空与物理时空的微分同胚，解决高阶微扰理论中的模糊性问题。
• 建立系统化的框架，用于在微扰理论二阶下构造规范不变变量。
• 通过消除依赖于规范的赝象，实现宇宙学、黑洞微扰与双星系统中的一致非线性计算。
• 通过将任意张量场（包括度规与物质场）显式分解为规范不变与规范依赖部分，提供适用于一般情形的形式体系。

提出的方法

• 将第一类规范界定为单一流形上的坐标系，源于广义协变性。
• 将第二类规范识别为微分同胚 $\mathcal{X}: \mathcal{M}_0 \to \mathcal{M}$ 的选择，用于连接背景时空与物理时空。
• 通过一参数族微分同胚 $\Phi_\lambda = \mathcal{X}_\lambda^{-1} \circ \mathcal{Y}_\lambda$ 对张量场进行拉回，推导规范变换规则。
• 利用拉回的泰勒展开推导变换律：$\delta^{(1)}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$，$\delta^{(2)}Q = 2\mathcal{L}_{X} \delta^{(1)}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$。
• 构造规范不变变量为 $^{(1)}\!\mathcal{Q} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$，$^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$。
• 将该形式体系应用于将度规微扰分解为规范不变部分 $\mathcal{L}_{ab}$ 与涉及 $X^a$ 和 $Y^a$ 的规范依赖部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论中第一类与第二类规范之间的确切理论区别是什么？
• RQ2 当涉及两个不同的时空流形时，如何一致地处理二阶微扰理论中的规范自由度？
• RQ3 在第二类规范选择改变时，微扰的一般变换规则是什么？
• RQ4 如何系统地构造任意张量场在二阶下的规范不变变量？
• RQ5 第二阶度规与物质场微扰的显式分解为规范不变与规范依赖分量的形式是什么？

主要发现

• 本文确立了广义相对论中存在两种不同的规范自由度：坐标（第一类）规范与点对应（第二类）规范。
• 第二类规范源于微扰理论中背景时空与物理时空之间点的非唯一对应关系。
• 不同第二类规范之间的规范变换由背景时空 $\mathcal{M}_0$ 上的微分同胚 $\Phi_\lambda$ 表示。
• 一阶规范变换规则为 $^{(1)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q = \mathcal{L}_{\xi_1} Q_0$，二阶规则为 $^{(2)}_{\mathcal{Y}}Q - {}^{(2)}_{\mathcal{X}}Q = 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}_{\mathcal{X}}Q + (\mathcal{L}_{Y} - \mathcal{L}_X^2)Q_0$。
• 任意场 $Q$ 的规范不变变量由 $^{(1)}\!\mathcal{Q} = {}^{(1)}\!Q - \mathcal{L}_X Q_0$ 与 $^{(2)}\!\mathcal{Q} = {}^{(2)}\!Q - 2\mathcal{L}_X {}^{(1)}\!Q - (\mathcal{L}_Y - \mathcal{L}_X^2)Q_0$ 给出，确保物理可观测量与规范选择无关。