[论文解读] Gauge Invariant Second Order Gravitational Waves

Zhe Chang, Sai Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 19

一句话总结

本文使用李导数方法在共动坐标系中建立了二阶引力波的规范不变性，表明从规范不变的共动变量导出的能量密度谱与牛顿规范下的结果一致。通过证明虚假张量扰动可通过适当的规范不变形式消除，该研究解决了文献中先前存在的矛盾，确保了不同规范下物理可观测量的一致性。

ABSTRACT

We investigate the gauge invariance of the second order gravitational waves induced by the first order scalar perturbations by following the Lie derivative method. It is shown explicitly that the second order gravitational waves are gauge invariant in the synchronous frame. In the gauge invariant framework, we derive the equation of motion of the second order gravitational waves and show that the second order gravitational waves are sourced from the first order scalar perturbations described well in the gauge invariant Newtonian frame. Since the observables of gravitational waves are measured in the synchronous frame, we define the energy density spectrum of the second order gravitational waves in terms of the gauge invariant synchronous variables. This way guarantees no fictitious tensor perturbations. It is shown that the gauge invariant energy density spectrum of the second order gravitational waves coincides with the one in the Newtonian gauge.

研究动机与目标

• 解决文献中关于二阶引力波能量密度谱规范依赖性的矛盾。
• 在测量所用的共动坐标系中，建立一致的二阶引力波物理可观测量定义框架。
• 证明即使在标量和向量扰动存在问题的共动规范下，张量扰动的规范不变性仍可保持。
• 表明通过规范不变的共动变量计算的二阶引力波能量密度谱，与牛顿规范下的标准结果一致。
• 为未来使用规范不变形式研究高阶引力波奠定基础。

提出的方法

• 应用李导数方法，推导共动坐标系中二阶张量扰动的规范不变变量。
• 在规范不变框架内推导二阶引力波的运动方程，表明其由牛顿规范下的第一阶标量扰动源激发。
• 定义一个规范不变的共动变量 $ H_{ij}^{(2)} $，作为第二阶张量扰动 $ h_{ij}^{(2)} $ 与第一阶标量扰动的组合，以确保规范不变性。
• 使用 $ H_{ij}^{(2)} $ 重新定义能量密度谱，消除由规范固定引起的虚假张量模态。
• 明确比较规范不变的共动变量与牛顿规范下的变量 $ h_{ij}^{(2,N)} $，表明当牛顿规范下标量扰动为零时，有 $ H_{ij}^{(2)} = h_{ij}^{(2,N)} $。
• 通过验证该框架与牛顿规范和共动规范下现有结果的一致性，确认物理可观测量未损失规范不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在共动坐标系中一致地定义二阶引力波，而不会引入虚假张量扰动？
• RQ2 从规范不变变量导出的二阶引力波能量密度谱是否具有规范不变性？
• RQ3 规范不变的共动变量与牛顿规范下的变量有何关系？
• RQ4 能否以规范不变的方式推导二阶引力波的运动方程，且其源来自第一阶标量扰动？
• RQ5 使用规范不变变量是否能解决文献中关于能量密度谱振幅和标度的矛盾结果？

主要发现

• 通过李导数方法定义的二阶引力波变量 $ H_{ij}^{(2)} $ 在共动坐标系中是规范不变的，解决了先前对规范依赖性的担忧。
• 从规范不变的共动变量 $ H_{ij}^{(2)} $ 计算的二阶引力波能量密度谱，与牛顿规范下导出的谱完全一致。
• $ H_{ij}^{(2)} $ 的运动方程表明其由第一阶标量扰动源激发，而这些标量扰动在牛顿框架下是良好定义且规范不变的。
• 当牛顿规范下标量扰动为零时，关系式 $ H_{ij}^{(2)} = h_{ij}^{(2,N)} $ 成立，解释了为何以往牛顿规范下的计算结果正确。
• 该框架通过构造方式消除了虚假张量扰动，确保了物理可观测量与规范选择无关。
• 该方法为研究二阶引力波提供了统一且规范不变的基础，且可推广至高阶扰动。