[论文解读] Gauge linked time-dependent non-Hermitian Hamiltonians

F. S. Luiz, M. A. de Ponte+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 11

一句话总结

本文研究了在时变狄松映射下的时变非厄米哈密顿量，表明非可观测哈密顿量构成一个无限的规范关联系统链，其可观测量在矩阵元上等价。当通过类似薛定谔方程的方法强制实现可观测性时，该链坍缩为单个可观测哈密顿量，揭示出可观测性排斥规范关联结构的存在。

ABSTRACT

In this work we address systems described by time-dependent non-Hermitian Hamiltonians under time-dependent Dyson maps. We shown that when starting from a given time-dependent non-Hermitian Hamiltonian which is not itself an observable, an infinite chain of gauge linked time-dependent non-observable non-Hermitian Hamiltonians can be derived from it. The matrix elements of the observables associated with all these non observable Hamiltonians are, however, all linked to each other, and in the particular case where global gauges exist, these matrix elements becomes all identical to each other. In this case, therefore, by approaching whatever the Hamiltonian in the chain we can get information about any other Hamiltonian. We then show that the whole chain of time-dependent non-Hermitian Hamiltonians collapses to a single time-dependent non-Hermitian Hamiltonian when, under particular choices for the time-dependent Dyson maps, the observability of the Hamiltonians is assured. This collapse thus shows that the observability character of a non-Hermitian Hamiltonian prevents the construction of the gauge-linked Hamiltonian chain and, consequently, the possibility of approaching one Hamiltonian from another.

研究动机与目标

• 研究时变非厄米哈密顿量在时变狄松映射下的结构。
• 探讨此类系统中不可观测性的影响，特别是规范关联哈密顿量链的出现。
• 确定这些链坍缩为单个可观测哈密顿量的条件。
• 阐明时变狄松映射在保持幺正性的同时实现可观测性的角色。
• 通过具有线性与参数放大特性的时变谐振子，提供说明性实例。

提出的方法

• 通过时变狄松映射，从一个不可观测哈密顿量构造出无限的规范关联时变非厄米哈密顿量链。
• 利用时变准厄米性条件 $ H_t = \eta_t^{-1} h_t \eta_t - i \eta_t^{-1} \dot{\eta}_t $，将非厄米哈密顿量 $ H_t $ 与厄米哈密顿量 $ h_t $ 关联起来。
• 采用狄松映射的高斯分解 $ \eta_t = \exp(\lambda_{+,t} K_+) \exp(\ln \lambda_{0,t} K_0) \exp(\lambda_{-,t} K_-) $，推导出哈密顿量的显式形式。
• 利用狄松映射及其时间导数，推导出厄米对应量 $ h_t = \eta_t H_t \eta_t^{-1} + i \dot{\eta}_t \eta_t^{-1} $。
• 应用卢伊兹（2017）提出的类似薛定谔方程的方法，构造出使度量算符保持时间不变的时变狄松映射。
• 证明在这些映射下，整个规范关联哈密顿量链坍缩为单个可观测的时变非厄米哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 时变非厄米哈密顿量是否能导致无限的规范关联不可观测哈密顿量链？
• RQ2 这些规范关联哈密顿量所关联的可观测量的矩阵元之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，全局规范变换会使链中所有矩阵元相同？
• RQ4 当通过时变狄松映射强制实现哈密顿量的可观测性时，规范关联链会发生什么变化？
• RQ5 从类似薛定谔方程构造狄松映射如何影响规范关联哈密顿量的存在性？

主要发现

• 通过时变狄松映射，可从单个不可观测哈密顿量导出无限的规范关联时变非厄米不可观测哈密顿量链。
• 链中所有哈密顿量所关联的可观测量的矩阵元相互关联；在全局规范情形下，这些矩阵元在整条链中完全相同。
• 当存在全局规范变换时，链中所有哈密顿量在物理上等价，从而实现信息在它们之间的传递。
• 其狄松映射 $ \bar{\eta}_t $ 不依赖时间导数的哈密顿量 $ \bar{H}_t $ 是该链中最易处理的。
• 当通过类似薛定谔方程的方法确保可观测性时，整个链坍缩为单个时变可观测非厄米哈密顿量。
• 时变非厄米哈密顿量的可观测性会阻止规范关联哈密顿量的存在，因为链结构被破坏。