[论文解读] Gauge Symmetries And Noether Currents In Optimal Control

Mauricio Torres Torres|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2003

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文将第二类诺特定理推广至依赖于自变量的 k 个任意函数及其至 m 阶导数的最优控制问题的规范对称性。通过引入半不变性概念并允许变换群依赖于控制变量，即使在非经典设定下也能推导出守恒的诺特流，提出了一种新颖的推广，适用于最优控制与经典变分法。

ABSTRACT

We extend the second Noether theorem to optimal control problems which are invariant under symmetries depending upon k arbitrary functions of the indepen- dent variable and their derivatives up to some order m. As far as we consider a semi-invariance notion, and the trans formation group may also depend on the control variables, the result is new even in the classical context of the calculus of variations.

研究动机与目标

• 将第二类诺特定理推广至涉及自变量的任意函数及其导数的最优控制问题。
• 在公式中引入半不变性条件，放宽严格不变性的要求，扩大适用范围。
• 将框架扩展至包含控制变量的变换群，为最优控制理论提供新结果。
• 在这些广义对称性条件下建立守恒的诺特流，即使对称性群依赖于控制变量也成立。
• 提供一项新颖的理论贡献，将经典变分法中的结果扩展至更广泛的最优控制设定。

提出的方法

• 形式化依赖于自变量的 k 个任意函数及其至 m 阶导数的变换下的不变性。
• 引入半不变性条件，以放宽严格不变性的要求，提升适用范围。
• 在这些对称性条件下，推导最优控制系统的广义诺特恒等式。
• 利用扩展的诺特型公式，从规范对称性构造守恒流。
• 将方法扩展至变换群显式依赖于控制变量的系统。
• 将该框架应用于最优控制与经典变分法，证明其一致性与新颖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将第二类诺特定理推广至依赖于自变量的任意函数的最优控制问题？
• RQ2 半不变性在将诺特定理推广至更广泛类别的最优控制系统中起什么作用？
• RQ3 控制变量如何影响规范对称性的结构以及由此产生的守恒流？
• RQ4 对称性群对任意函数导数的依赖性如何影响守恒定律？
• RQ5 在这些广义对称性条件下，最优控制系统中会涌现出哪些新的守恒量？

主要发现

• 本文为涉及 k 个任意函数及其至 m 阶导数的最优控制问题的规范对称性，建立了第二类诺特定理的新版本。
• 该框架引入了半不变性，使得即使在严格不变性不成立时，也能推导出守恒流。
• 该方法成功地将控制变量纳入对称群，将诺特型定理的适用范围扩展至最优控制系统。
• 所推导的守恒流在依赖于状态与控制变量的广义变换群下依然有效。
• 即使在经典变分法背景下，当考虑半不变性与控制依赖性时，该结果仍具新颖性。
• 该方法为在具有广义对称性的最优控制与变分问题中统一推导守恒律提供了理论基础。