[论文解读] Gauge theory and mirror symmetry

Constantin Teleman|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 34

一句话总结

本文通过紧凑李群的范畴化表示理论，建立了二维规范场论与镜像对称之间的深层对应关系，表明纯3D拓扑规范场论（关于群G）等价于其朗兰兹对偶群G∨的BFM空间上的罗赞斯基-惠特尼理论。关键结果是将旗流形的里茨希镜像几何地实现为源自全纯辛流形中拉格朗日子流形对应关系的矩阵因子化范畴。

ABSTRACT

Outlined in this paper is a description of \emph{equivariance} in the world of 2-dimensional extended topological quantum field theories, under a topological action of compactLie groups. In physics language, I am gauging the theories --- coupling them to a principal bundle on the surface world-sheet. I describe the data needed to gauge the theory, as well as the computation of the gauged theory, the result of integrating over all bundles. The relevant theories are A-models, such as arise from the Gromov-Witten theory of a symplectic manifold with Hamiltonian group action, and the mathematical description starts with a group action on the generating category (the Fukaya category, in this example) which is factored through the topology of the group. Their mirror description involves holomorphic symplectic manifolds and Lagrangians related to the Langlands dual group. An application recovers the complex mirrors of flag varieties proposed by Rietsch.

研究动机与目标

• 开发一种在紧致李群作用下对二维扩展拓扑量子场论（TQFT）进行规范化的框架，将等变上同调推广至范畴化设定。
• 阐明全纯辛几何与朗兰兹对偶性在旗流形镜像对称中的作用，尤其在A模型与格罗莫夫-威滕理论的背景下。
• 为拓扑表示的特征理论提供几何与范畴化解释，以朗兰兹对偶群的BFM空间上的凝聚层替代特征函数。
• 在罗赞斯基-惠特尼理论的框架下，建立3D拓扑规范场论中边界条件与全纯辛流形中拉格朗日子流形之间的精确对应关系。
• 通过全纯辛几何中的拉格朗日子流形对应关系与矩阵因子化，恢复并几何地实现里茨希提出的旗流形复镜像。

提出的方法

• 通过将2D TQFT与世界面上的主丛耦合，利用紧致李群G在生成范畴（如具有哈密顿G作用的辛流形的弗克雅范畴）上的作用来实现TQFT的规范化。
• 采用朗兰兹对偶群G∨的BFM空间（贝兹鲁卡夫尼克-芬克尔施泰因-米尔科维奇）作为镜像描述的几何背景，该空间是与G∨ℂ中共轭类空间余切丛相关的全纯辛流形。
• 将全纯辛流形X的罗赞斯基-惠特尼理论用作纯3D拓扑规范场论（关于G）的3D TQFT对偶，其边界条件对应于全纯拉格朗日子流形或范畴层。
• 通过T∗regG∨ℂ中的拉格朗日子流形对应关系构造旗流形G/L的镜像，其中镜像被实现为矩阵因子化范畴MF(B∨+ ∩ M; f − ξ∘log)，其中f与ξ∘log在旗流形的稠密开子集上定义。
• 利用从勒维子群的辛诱导，建立G的诱导表示范畴与旗流形的弗克雅范畴之间的对偶性，类似于Borel-Weil构造。
• 利用拉格朗日叶层Sξ与Λ(q)上的半体积形式，定义霍赫希尔德同调上的迹，通过两个叶层上不变半体积的乘积与里茨希的镜像体积形式匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群为紧致李群而非有限群时，如何形式化二维扩展TQFT中的等变性概念？
• RQ2 纯3D拓扑规范场论（关于紧致李群G）的精确几何对偶是什么？它与罗赞斯基-惠特尼理论有何关系？
• RQ3 旗流形G/L的镜像对称如何从G∨的BFM空间的全纯辛几何中的拉格朗日子流形对应关系中产生？
• RQ4 在拓扑表示的范畴化语境下，特征理论的范畴类比是什么？它与BFM空间上的凝聚层有何关联？
• RQ5 拉格朗日叶层Sξ与Λ(q)上的半体积形式如何组合以重现里茨希镜像上的体积形式？这对霍赫希尔德同调上的迹结构有何意义？

主要发现

• 关于紧致李群G的纯3D拓扑规范场论等价于其朗兰兹对偶群G∨的BFM空间上的罗赞斯基-惠特尼理论，提供了物理与几何上的对偶性。
• 旗流形G/L的镜像被几何地实现为矩阵因子化范畴MF(B∨+ ∩ M; f − ξ∘log)，其中M ≅ (N∨ × N∨)/diag(N∨ ∩ L∨ℂ)，且f是通过幂零元素对数定义的函数。
• 镜像几何中拉格朗日子流形Sξ与Λ(q)之间的配对计算了镜像范畴的霍赫希尔德同调，迹结构由两个叶层上不变半体积的乘积产生。
• G∨的BFM空间是拓扑G-表示特征理论的自然几何对象，其简单表示对应于在该空间上叶状分布的凝聚层。
• 该构造将Borel-Weil定理推广至范畴化设定，其中不可约表示被实现为旗流形的弗克雅范畴，而“L2-诱导”对应于弦拓扑范畴。
• B∨+ ∩ M的横截性确保了在移位余法丛之间的Hom空间同构于矩阵因子化范畴，从而验证了镜像对应关系。