[论文解读] Gauging as constraining: the universal generalised geometry action in two dimensions

Athanasios Chatzistavrakidis, Andreas Deser+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文提出了一种广义框架，通过将叶状结构（而非全局对称性）视为基本几何结构，来度量二维sigma模型。通过在广义切丛中使用辅助1-形式重新表述未规范化的理论，并将其限制在Dirac结构上，该方法系统地识别出无需等距或全局对称性的相容规范场论，其关键结果是仅特定的小型Dirac结构允许相容规范，从而导致如环面或圆等目标空间，且不额外冻结自由度。

ABSTRACT

One of the central concepts in modern theoretical physics, gauge symmetry, is typically realised by lifting a finite-dimensional global symmetry group of a given functional to an infinite-dimensional local one by extending the functional to include gauge fields. In this contribution we review the construction of gauged actions for two-dimensional sigma models, considering a more general notion to be gauged, namely that of a (possibly singular) foliation. In particular, the original action does not need to have any global symmetry for this purpose. Moreover, reformulating the ungauged theory by means of auxiliary 1-form fields taking values in the generalised tangent bundle over the target, all possible such gauge theories result from restriction of these fields to take values in (possibly small) Dirac structures. This turns all the remaining 1-form fields into gauge fields and leads to the presence of a local symmetry. We recall all needed mathematical notions, those of (higher) Lie algebroids, Courant algebroids, and Dirac structures.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖于全局对称性或等距性的二维sigma模型规范通用框架，而是基于叶状结构的几何性质。
• 通过广义几何与Courant代数丛，将规范概念扩展至传统李群作用之外。
• 识别出相容规范可能的条件，特别是避免目标空间中非物理的自由度冻结。
• 证明相容规范恰好对应于广义切丛中辅助1-形式场限制在小型Dirac结构上。
• 阐明最小耦合与非最小耦合在实现非等距方向规范中的作用，特别是在奇异叶状结构中的情形。

提出的方法

• 在目标流形的广义切丛中，使用取值于辅助1-形式的场重新表述未规范化的二维sigma模型。
• 将所有可能的规范场论识别为这些1-形式场限制在Courant代数丛的小型Dirac子丛上。
• 利用不变性条件(24)、(31)和(32)，通过联络系数$\omega^{a}_{b}$、$\theta_{a}$和$\phi_{b}$确定相容的规范耦合。
• 应用通用作用量(30)以实现非最小耦合，引入额外可调参数，以解决最小耦合之外的不变性条件。
• 在具体例子中构造$\omega^{a}_{b}$和$\phi_{b}$的显式解，例如$D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$结构下的$\omega^{3}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$。
• 验证所得商空间（如2-环面、圆）与规范理论的物理目标空间一致，且无额外的传播自由度冻结。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设任何底层全局对称性或等距性的前提下，为二维sigma模型构建相容的规范场论？
• RQ2 在何种几何条件下，叶状结构可通过广义几何实现相容规范？
• RQ3 能否使规范理论的目标空间与叶状结构的叶空间一致，从而避免非物理的自由度冻结？
• RQ4 非最小耦合的引入如何扩展可能的规范化集合，特别是对非等距方向而言？
• RQ5 Courant代数丛中的Dirac结构在广义几何中对相容规范化的分类中起何作用？

主要发现

• 仅特定的小型Dirac结构（如$D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$）允许相容规范，而其他结构（如$D_{(\rho_{1})}$或$D_{(\rho_{2})}$）则无法满足不变性条件的解。
• 对于$D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$结构，解$\omega^{3}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$导致目标空间为2-环面的规范理论，且所有物理自由度均被保留。
• $D_{(\rho_{1},\rho_{3},\rho_{4})}$结构通过$\omega^{1}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$和$\omega^{4}_{3} = -\mathrm{d}X^{2}$产生圆作为目标空间，证明了对3-环面叶状结构的相容规范。
• 对于$D_{(\rho_{2},\rho_{3},\rho_{4})}$结构，解$\omega^{2}_{4} = \mathrm{d}X^{1} - (X^{4} + X^{1}X^{2})\mathrm{d}X^{2} + \mathrm{d}X^{3}$导致目标空间为圆，证实了对3-幂零流形叶状结构的相容规范。
• 在非最小耦合框架下，新Dirac结构$D'_{(\rho_{4})}$允许在欧几里得世界面度规下对$\rho_{4}$-叶状结构进行规范，其中$\theta = (x^{1}x^{2} + x^{4})\mathrm{d}x^{2} - \mathrm{d}x^{3}$且$\phi = \mathrm{d}x^{2}$，此在最小耦合下无法实现。
• $\rho_{1}$-叶状结构即使在非最小耦合框架下仍不可规范，表明并非所有叶状结构都能实现相容规范，即使引入更多可调参数。